因為是學習筆記所以是邊學邊寫，以防自己到時候忘掉了=w=
首先，支配樹是一棵樹（廢話），用來求解必經點問題。
即求乙個有向圖中以r為根到達每乙個點的必經點。
樹中每乙個點x的父親為idom(x)，表示x的最近必經點。
我們把從r到x必經y稱作「y支配x」，顯然支配是具有傳遞性的。
所以可以證明idom是唯一的。
首先對原圖g建出其的dfs樹t並且按dfs序重標號，那麼就具有一些性質：
1：橫叉邊必然從大指向小
這就表明對於任意兩點u,v，u<=v，u到v中的任意路徑都經過u,v在t中的乙個公共祖先
2：idom(x)必為x在t中的祖先
廢話定義半必經點sdom(x)，表示最小的v，使得存在一條從v到x的路徑不經過任何樹邊。
3：sdom(x)必為x在t中的祖先
因為sdom(x)<=x，根據性質1可知sdom(x)到x的那條路徑必然經過x和sdom(x)的乙個公共祖先。而這個公共祖先就是sdom(x)。如果不是就證明sdom(x)是通過橫叉邊走到x的祖先中，這顯然是不合法的。
4：idom(x)必為sdom(x)在t中的祖先
二者都是x的祖先，並且idom(x)不可能為sdom(x)的後代，否則將被完全跳過。
5：如果v是x的祖先，那麼v是idom(x)的祖先或者idom(x)是idom(v)的祖先。
如果v是idom(x)的後代，並且idom(v)是idom(x)的祖先，那麼就可以從r繞過idom(x)走到v，再直接走到x，與已知矛盾。
接下來講如何求sdom(x)
先給出結論，對於x的乙個前繼y，若y < x，sdom(x)=min(y)
否則sdom(x)=min(sdom(z))，z是y的祖先且z > x
證明：設右邊的數為v，先證明sdom(x)<=v，再證明sdom(x)>=v
1」，對於第一種顯然成立
第二種，存在一條從sdom(z)到z到y到x的路徑
其中sdom(z)到z這一段除頭尾均》z，即》x
後一段顯然
所以證明了sdom(x)<=v
2」如果sdom(x)只經過一條邊，必有sdom(x)>=v，因為v<=min(y)，y是x的前繼
否則我們設路徑v0=sdom(x),v1,v2,v3…vk=x，vj是首個滿足vj是vk-1的父親的。
可以證明v1…vj-1>vj，否則我們取最小的vi滿足vi < vj，必然滿足vi到vj的路徑上經過vi和vj的乙個祖先，設為w，可以通過類似性質3的證明發現w就是vi，那麼vi是vj的祖先，也就是vi是vk-1的祖先，與假設矛盾。
這其實就是構造了乙個集合滿足第二種條件，vj相當於z，於是sdom(x)=sdom(vj)>=v，因為我們的路徑是任取的，並且對於所有的路徑都滿足條件。
綜上sdom(x)=v
說了這麼多我們就是要用sdom來求idom
其實我們發現如果我們將所有的邊
刪去，然後將所有的
加上，我們會發現每個點的idom並不會改變，於是我們直接用log的dag做法就好了。
具體來說idom(x)=lca(idom(y))，y是x的前繼。
但是tarjan提出了乙個叫做lengauer-tarjan的利用並查集達到o(nα(n))的做法
讓我們再來講幾個用sdom求idom的定理：
1：若所有在sdom(x)到x的路徑上的點y,y!=sdom(x)都滿足sdom(y)>=sdom(x)則idom(x)=sdom(x)
證明：對於任意一條r到x的路徑，設點z為最後乙個小於sdom(x)的點。
若沒有則顯然sdom(x)支配x
設w為路徑上z之後首個在sdom(x)到x路徑上的點(不含端點)
類似sdom的證明，路徑上z到w的點vi>w
所以sdom(w)<=z < sdom(x)
又因為條件知道sdom(w)>=sdom(x)，所以w不能是sdom(x)的後代，與假設矛盾。
2：令u是sdom(x)到x的路徑上的sdom(u)最小的點,u!=sdom(x)
則idom(x)=idom(u)
證明：類似上乙個的證明形式，取最後乙個點z滿足z < idom(u)
再取第乙個y滿足y在idom(u)到x的路徑上。
同理可得sdom(y)<=z，那麼我們知道sdom(y)<=z < idom(u)<=sdom(u)<=sdom(x) < u<=x
現在我們來嘗試確定y的位置。
首先y一定不在sdom(x)到x的路徑上，如果在就違反了sdom(u)最小
其次y一定不再idom(u)到sdom(x)的路徑上，如果在我們就存在一條從r到sdom(y)到y避開idom(u)到u的路徑。
這樣就說明了y=idom(u)，即idom(u)支配x
也就是說，我們取從sdom(x)到x路徑上sdom(u)最小的u，如果u=x，那麼idom(x)=sdom(x)，否則idom(x)=idom(u)
首先考慮求sdom的做法，我們只需要求出對於點x所有大於他的祖先。
考慮按dfs序倒序處理，用帶權並查集維護，很容易處理出sdom最小的那個點。
對於idom來說，我們每處理完乙個點的sdom，就把它掛在sdom處。
然後處理所有掛在它父親處的點v，求出點v到r路徑上目前sdom最小的點設為u。
如果sdom(u) < sdom(v)，說明此時v不滿足第一種情況，但是u是對於v來說第二種情況的候選點，並且由於我們是倒序列舉u一定當前最小，我們直接把idom(v)設為u。
否則idom(v)=fa(x)，這是由於第一種情況。
當我們做完之後會發現第二種情況我們的idom實際上求的是候選點而不是idom
所以再掃一遍把所有的idom求出來即可。
例題：hdu 4694 important sisters
typedef
vector
vec;
#define pb(a) push_back(a)
vec pre[n],dom[n];
int lst[n],nxt[n<<1],t[n<<1],l;
void add(int x,int y)
int n,m,x,y,semi[n],idom[n];
int id[n],dfn[n],fa[n],tot;
void dfs(int x)
}}int father[n],val[n];
int get(int x)
int smin(int x,int y)
father[x]=fa[x];dom[semi[x]].pb(x);
if (!dom[fa[x]].empty())
fo(j,0,dom[fa[x]].size()-1)
}
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