最近學了一下莫比烏斯反演(實際只學了2天,旁邊hyh還一直吵吵吵),所以還是來寫寫現在能寫出來的東西吧.
莫比烏斯反演,指的是對於乙個數論函式f(
n),有 f(
n)=∑
d|nf
(d)
這裡f(d
) 是另乙個數論函式,那麼就會有 f(
n)=∑
d|nμ
(d)f
(nd)
然後就能夠通過把難求的東西轉化成另外好求一點的東西以求和算出答案來了.
那麼其中的
μ 函式是莫比烏斯函式,定義為 μ(
i)=⎧
⎩⎨⎪⎪
1,(−
1)k,
0,i==
1i=q
1∗q2
∗q3∗
...∗
qkq1
2|i
上面的qk指的是i的質因數.關於μ
(n) 還有乙個神奇的性質: ∑d
|nμ(
n)={
1,0,
n==1n
!=1
下面給出證明.對於n
==1的情況,顯然∑d
|nμ(
n)=1
,對於n!
=1時,我們知道,對於那些出現在其質因子中數量超過兩次的質因子,可以把它看做只出現過一次(因為如果這個數出現在μ(
i)中很多次的話,μ(
i)=0
),所以我們知道最後一定只和不同的值因子個數有關,我們設它有k個不同的質因子,那麼可以推出: ∑d
|nμ(
d)=c
0k−c
1k+c
2k−c
3k+.
..=∑
i=0k
(−1)
i∗ci
k=∑i
=0k(
−1)i
∗1k−
i∗ci
k=((
−1)+
1)k=
0 這樣就能夠證好這個了.
有了這個,現在來證明莫比烏斯反演. f(
n)=∑
d|nμ
(d)f
(nd)
=∑d|
nμ(d
)∑k|
ndf(
k)=∑
k|nf
(k)∑
d|nk
μ(d)
=f(n
) 得證！然後莫比烏斯反演還有另外一種形式： f(
n)=∑
n|df
(d)⇒
f(n)
=∑n|
dμ(d
n)f(
d)寫個證明吧: f(
n)=∑
n|dμ
(dn)
f(d)
=∑n|
dμ(d
n)∑d
|kf(
k) 令
t=dn
,帶入後可以換成: ∑t
μ(t)
∑nt|
kf(k
)=∑n
|kf(
k)∑t
|knμ
(t)=
f(n)
這就可以證出來了.
附一道題
莫比烏斯反演 二 莫比烏斯反演定理
首先設兩個任意函式f x 和f x 定義運算 f x sum f d 這時就可以用f x 表示f x f 1 f 1 f 2 f 1 f 2 f 3 f 3 f 1 f 4 f 4 f 2 f 1 f 5 f 5 f 1 f 6 f 6 f 3 f 2 f 1 這時可以試著用f x 表示f x f ...
莫比烏斯反演
首先 莫比烏斯函式有個性質 d n d 1 n 1 0 n 1 證明 n 1時，不做多餘說明。n 1 根據唯一分解定理，可以分解n ki 1pai i 對於那些含平方因子也就是存在ai 不為1的數，它的函式值為0，對答案沒有任何貢獻。所以我們來看看那些是互異素數乘積的數，每乙個成為它約數的數是什麼樣...
莫比烏斯反演
定理 f n 和f n 是定義在非負整數集合上的兩個函式，並且滿足條件f n d nf d 那麼我們得到結論f n d n d f n d 在上面的公式中有乙個函式 d 它的定義如下 1 若d 1，那麼 d 1 2 若d p1 p2 p k 均為互異素數，那麼 d 1 k 3 其它情況下 d 0 對...