（大量引用《2-sat解法** -by 華中師大一附中 趙爽》《由對稱性解2-sat問題》
great_influence關於p4782 【模板】2-sat 問題的題解。在此對原作者表示衷心的感謝）
在實際的題目中，限制往往還有除了或以外的別的形式，這些限制也將在這篇文章中討論。
先討論以下兩類限制的情況：
1、若x=a，則y=b
2、x=a或y=b
由於x、y都是bool變數，值要麼1，要麼0，所以可以通過建有向圖的方式來表示這個題目。對每個bool變數x，都建立兩個點，分別表示x=1和x=0。為了方便，以後的x表示圖中的乙個點（除非x前加「變數」兩字，表示變數），~x表示點x的對應點（即另乙個表示同一變數的點）。圖中有了點，就要考慮邊了。
設x_a （字母大寫以區分上文小寫字母表示內容）為變數x等於乙個數a對應的點。同時下文的『^』表示異或符號。顯然對上面的兩類限制都可以通過連邊實現：
對於第一種限制，要增這樣兩條邊：（x_a，y_b）即變數x=a可推出變數y=b；（y_(b^1),x_(a^1)）即變數y不等於b可推出變數x不等於a。
對於第二種限制，就要增這樣兩條邊：（x_(a^1)，y_b）即變數x不等於a可推出變數y等於b；（y_(b^1),x_a）即變數y不等於b可推出變數x不等於a。
發現這些邊都是對稱的，即若連了一條邊（x，y），則必會有邊（~y，~x）（注意這裡的字母是小寫的）在同一時間連上。同時也發現這些邊的意義也很好理解，不就是「推出」嘛。並且每種限制所連的兩條邊都很好地將這個限制表示了出來。那麼有了乙個最基本的解決問題的暴力演算法了：從每個變數x開始，若它有標記，則直接看下乙個變數，否則列舉它選1或選0，設選了b，並從相應的點dfs。在dfs過程中標記遍歷過的變數都選什麼（對正向邊則標記為該邊的終點；反向邊則標記為該邊的對應點。是的，這個dfs也要走反向邊，即一切有關係的都要走）。若發現dfs過程中遍歷了一組對應點，即從當前變數x選b可推出某個變數既選1又選0，這顯然是矛盾的，故當前變數不能選b，要選另乙個。若當前變數選1或0都不行，則無解了（這裡用不用讓之前的變數重新選一下，再重新列舉當前變數的取值呢？答案是不用。因為若當前變數要取列舉取1取0，則當前變數肯定與之前變數關係。因為有關係的都被打上標記了。所以之前變數的取值情況是與當前變數獨立的）；否則就看下乙個變數： 直到看完所有變數的值後發現仍沒有矛盾，則每個變數列舉的值就是答案；或發現無解情況，就記錄無解資訊後停止就好。
顯然這個演算法是很慢的，時間複雜度可達o(n*m)。除非要求乙個字典序最小的取值方案，否則一般都不用這個演算法。下面介紹乙個更快的演算法：
我們考慮圖的乙個強連通分量。很明顯，如果我們選中強連通分量中的任何一點，那麼該強連通分量中的所有其它的頂點也必須被選擇。所以我們可以先求圖的所有強聯通分量。當我們發現若一組對應點x和~x都在同乙個強連通分量時，即若變數x選1，可推出它應該選0；它選0，可推出它應該選1，這樣的話變數x不管怎麼選都是矛盾的，則該2-sat無解。若沒有這樣的情況，那麼我就叫他「前置合法」了，即已經滿足了有解的前提之一。前置合法後，設原圖為g，縮點後的圖為g'，然後，我們把g'中的所有弧反向，得到圖g′′。由於已經進行了縮點的操作，因此g′′中一定不存在圈，也就是說，g''具有拓撲結構。我們把g中所有頂點置為「未著色」。按照拓撲順序重複下面的操作：
1、選擇第乙個未著色的頂點u。把u染成紅色。
2、把所有與u矛盾的頂點（如果存在x,~x∈
，前置合法時，k=1建的邊不會影響強連通分量的對稱性。（因為這條邊的起點與終點不會在同乙個強聯通分量裡）。
證明正確性前先了解幾個定理：
1、2、
3、下面證明一下該演算法的正確性：
一、二、
1、個人認為《2-sat解法**》中有關二、1的證明是不正確的，這裡可以舉出乙個反例：
所以下文給出作者個人的關於二、1的證明：
2、故該演算法是正確的。時間複雜度為o（n）（tarjan為o(n)，拓撲排序為o(n)，染色為o(n)（染色要注意不染重複的點，否則就可能變成o(n的平方)）。故總複雜度也為o(n)（實際上，更準確的說，這裡的n為n*2））
其實還有乙個常數的優化：
故前置合法時必有解
故前置合法時，每個變數選他對應點中拓補序大的點，一定會得到一組解。這樣的話就不用求完拓補序後再染色了。
再仔細考慮一下，發現tarjan的縮點的順序正是乙個反的拓補序，所以可以記錄他tarjan的順序，這樣連拓撲序也不用求了。
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2 Sat模板詳解
這幾天看了一下2 sat，因為有tarjan以及拓撲排序等等的知識基礎，還是比較好理解的，我看到的有兩個模板，乙個是時間複雜度為o nm 另乙個時間複雜度為o m 但是第二種存在一種侷限，他只是能求解隨機的解，但是如果要是求解字典序最小的解，只能使用第一種解法.我們就用乙個例子來看一下第乙個模板 h...
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