模板 2 SAT 問題 2 SAT

2-sat 問題模板

有n個布林變數 \(x_1\) ~ \(x_n\) ，另有m個需要滿足的條件，每個條件的形式都是「 \(x_i\) 為true/false或 \(x_j\) 為true/false」。比如「 \(x_1\) 為真或 \(x_3\) 為假」、「 \(x_7\) 為假或 \(x_2\) 為假」。2-sat 問題的目標是給每個變數賦值使得所有條件得到滿足。

輸入格式：

第一行兩個整數n和m，意義如體面所述。

接下來m行每行4個整數 i a j b，表示「 \(x_i\) 為a或 \(x_j\) 為b」(a,b∈)

輸出格式：

如無解，輸出「impossible」（不帶引號）; 否則輸出"possible"（不帶引號),下一行n個整數 \(x_1\) ~ \(x_n\) (\(x_i\)∈)，表示構造出的解。

輸入樣例#1：複製

3 11 1 3 0

輸出樣例#1：複製

possible

0 0 0

談談理解？

只會\(n+m\)時間複雜度的演算法。

對於乙個2-sat問題。有如下三種情況

1.如果a=1 那麼 b=1

轉化為圖論思想，如果我要選a則必須選b

不選a則一定不選b

對(a,b),(b1,a1)建邊。

2.要麼a=1,要麼b=1

那就是選a就不選b(a,b^1),

選b就不選a(b,a^1)

3.a一定要選

直接連邊(a^1,a)

首先可以知道， \(x_\) 和 \(x_\) 必須選擇且僅選擇乙個。那麼，因為 \(x_i=a\) 一定滿足，則 \(x_i!=a\) 的點不可以取。那麼，直接建邊 \((x_x_)\) 可以控制 \(x_\), 這個點一定不可選擇，否則無解。

然後用tarjan求一遍強聯通分量。可以發現每乙個強聯通分量裡面的情況是要麼選就一起選，不選就一起不選的。當乙個條件與它的反條件同時被選取，即在乙個強聯通分量時，是不成立的。要麼就是成立的。

那麼輸出呢？怎麼保證輸出的方案是正確？

根據2-sat的對稱原則。如果連的是雙向邊，那麼整個圖就是對稱的。那麼為什麼比較拓撲序就一定正確呢？

因為由對稱原則強聯通分量一定也是相同的。而根據強聯通分量被標記的時間順序，拓撲序一定能保證每個問題有正確解。

（好吧，還是有點繞）

#include#include#include#include#includeusing namespace std;
const int n=3000001;
int head[n],dfn[n],low[n];
int id,tot,num,cnt;
int n,m,top;
int vis[n],line[n],bl[n];
struct nodee[n<<1];
int read()
while(ch>='0'&&ch<='9')x=x*10+ch-'0',ch=getchar();
return x*w;
}void add(int from,int to)
void tarjan(int x)
else if(vis[v])
low[x]=min(low[x],dfn[v]);
}if(low[x]==dfn[x])
}}bool t_sat()
int main()
if(t_sat())
else printf("impossible\n");
return 0;
}

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