只有2 SAT不是NPC呢 2 SAT學習筆記

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我們舉乙個簡單的例子：

機房裡有三位大佬小s，小l,小m和乙個蒟蒻tqr，他們刷題時有不同的要求（因為蒟蒻什麼題都不會做，故不列舉）：

大佬/要求

小s小l

小m 要求1

不包含數論知識(¬a)

包含數論知識(a)

不包含數論知識(¬a)

要求2包含幾何知識(b)

包含幾何知識(b)

不包含幾何知識(¬b)

要求3不包含圖論知識(¬c)

不包含圖論知識(¬c)

包含圖論知識(c)

在此之前，複習一下前置數學知識：

對於乙個命題：如果a，那麼b

其逆命題為：如果b，那麼a

其否命題為：如果¬a，那麼¬b

其逆否命題為：如果¬b，那麼¬a

∧表示與，∨表示或，¬表示非

原命題與逆否命題等值。逆命題與否命題等值

原命題與逆命題以及逆否命題與否命題之間沒有關係

經過數學分析，滿足的題目一定符合以下條件(¬a∨b∨¬c)∧(a∨b∨¬c)∧(¬a∨¬b∨c)

因此我們要做的就是給每個變數賦值，使上式值為true

是的，這就是sat問題，但需要注意的是，上面的情況中，每個同學對題目都有三個限制，因此是3-sat問題

可證明的，3(及以上)-sat問題都是npc問題（即不可使用演算法解決，唯一的方法是暴力列舉）

因此，2-sat問題是演算法能解決的極限，那麼我們將限制改一改：

經過一段時間的學習後，除了tqr，其他人都完全掌握了圖論知識……

那我們就開始吧……

首先，我們需要將幾個互相有限制的點賦值，那就把它們丟到圖裡面！

建立兩個點，分別是a和¬a（儲存時，可以存到編號分別為 \(i\) 和 \(i+maxn\) 的節點上，就像並查集對稱點一樣）

那麼每個點之間的關係是什麼？

(a∨b)可以理解為若a為真，則b為假，反之b為真

於是我們可以建出圖形：

由圖形可以發現，a與¬b，以及¬a與b都在同乙個強連通分量裡，於是我們可以得出結論：

2-sat問題同乙個強連通分量中的所有元素值相同

有n個布林變數 \(x_1\)~\(x_n\)，另有 \(m\) 個需要滿足的條件，每個條件的形式都是 \(x_i\)為true/false或 \(x_j\)為true/false。你的mubiao給每個變數賦值使得所有條件得到滿足。

第一行兩個整數\(n\)和\(m\)，意義如題面所述

接下來\(m\)行每行\(4\)個整數\(i,a,j,b\)，表示\(x_i\)為\(a\)或\(x_j\)為\(b\)」\((a,b∈\)\)

如無解，輸出\(impossible\);否則輸出\(possible\),

下一行\(n\)個整數\(x_1\)~\(x_n\)

\((x_i∈\)\)，表示構造出的解。

read(n);read(m);

for(register int i=1;i<=m;++i)

void tarjan(int u)

else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}	if(dfn[u]==low[u])		}
}for(register int i=1;i<=2*n;++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);

\(tarjan\) 求強連通分量得到的強連通分量編號是遵循拓撲序逆序的，所以如果 \(x_0\) 的編號更小，輸出 \(0\)，否則輸出 \(1\)

for(register int i=1;i<=n;++i)

if(color[i]==color[i+n])
puts("possible");
for(register int i=1;i<=n;++i)
printf(color[i]>color[i+n]?"1 ":"0 ");

#includeusing namespace std;

int n,m,a,va,b,vb;
struct edge
edge[2000005];
int cnt=0,head[2000005];
inline void add_edge(int from,int to)
int low[2000005],dfn[2000005],color[2000005],tms,idx;
bool vis[2000005];
stacksta;
void tarjan(int u)
else if(vis[v]) low[u]=min(low[u],dfn[v]);
}	if(dfn[u]==low[u])		}
}templateinline void read(t &res)
int main()
for(register int i=1;i<=2*n;++i) if(!dfn[i]) tarjan(i);
for(register int i=1;i<=n;++i)
if(color[i]==color[i+n]) 
puts("possible");
for(register int i=1;i<=n;++i)
printf(color[i]>color[i+n]?"1 ":"0 ");
return 0;
}

模板 2 SAT 問題 2 SAT

2 sat 問題 模板 有n個布林變數 x 1 x n 另有m個需要滿足的條件，每個條件的形式都是 x i 為true false或 x j 為true false 比如 x 1 為真或 x 3 為假 x 7 為假或 x 2 為假 2 sat 問題的目標是給每個變數賦值使得所有條件得到滿足。輸入格式...

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