博弈論問題一般是，兩人都採取最優的策略進行博弈，判讀兩人勝負。
博弈論一般分為以下幾種：
這只是一篇結論性的文章。。不會證明
必勝態：當前狀態按照最優策略一定必勝。
必敗態：相反，就是必敗態。
p-position：先手必敗。上次move的人有必勝策略。即這次move的人必敗。
n-position：先手必勝。這次move的人有必勝策略。
bash博弈，模型：n個物品，兩個人輪流取，每次最少取1個，最多取m個，取到最後乙個的人獲勝。
如果n%(m+1)=0，先手必敗。否則先手必勝。
模型：威佐夫博弈（wythoff's game）：有兩堆各若干個物品，兩個人輪流從某一堆或同時從兩堆中取同樣多的物品，規定每次至少取乙個，多者不限，最後取光者得勝。
奇異局勢：如果甲面對（0，0），那麼甲已經輸了，這種局勢我們稱為奇異局勢。前幾個奇異局勢是：（0，0）、（1，2）、（3，5）、（4，7）、（6，10）、（8，13）、（9，15）、（11，18）、（12，20）。可以看出,a0=b0=0,ak是未在前面出現過的最小自然數,而 bk= ak + k。
奇異局勢也就是p狀態，處於此局勢的人在策略最優的情況下必敗。
有以下結論：
奇異局勢的性質：
1、在除(0,0)外的所有的p狀態中，每個正整數恰好出現一次
2、每行第乙個數是前面沒有出現過的最小正整數
結論：乙個狀態奇異局勢，$a_k =\lfloor k * \frac \rfloor，b_k= a_k + k \ \ \ \ \ (k=0，1，2，…,n )$
fibonacci博弈模型：有一堆個數為n的石子，兩個人輪流取石子，要求：
取走最後乙個石子的人獲勝。
結論：當n為斐波那契數時，按照最優策略，先手必敗，否則先手必勝。
齊肯多夫定理（zeckendorf）：任何正整數都可以表示為若干個不連續的斐波那契數之和。這個定理的
證明參考度娘。舉乙個例子，斐波那契數列前幾項是1,2,3,5,8,13,21,34,55,89...如n=83,83位於55與89之間，那麼83=55+28，再將28分解，28位於21與34之間，28=21+7，以此類推，最後83=55+21+5+2。
模型：n堆石子，第i堆有ai個石子，兩人輪流取石子，每次最少取1個，最多取完一堆的石子。取走最後乙個的獲勝。
結論：如果a1 xor a2 xor ...xor an=0，那麼先手必敗(p),否則先手必勝(n)。
證明sg(x)等於，x的所有後繼的sg值的mex(從0開始最小的沒有出現過的數)。icg遊戲中sg=0表示p狀態。
性質：乙個遊戲，可以分成n個子遊戲，這個遊戲的sg值為所有子遊戲的sg的異或和。
比如nim遊戲就是乙個子遊戲
模型：桌子上有n堆石子，遊戲者輪流取石子。每次只能從一堆中取出任意數目的石子，但不能不取。取走最後乙個石子者敗。
只是將勝負判斷條件反了過來。
sj定理(prague grundy——jia zhihao)：先手必勝當且僅當：（1）遊戲的sg函式不為0且遊戲中某個單一遊戲的sg函式大於1；（2）遊戲的sg函式為0且遊戲中沒有單一遊戲的sg函式大於1。
博弈論小結
博弈論，今天算是告一段落了。博弈模型為兩個人輪流決定的非合作博弈，即兩個人輪流進行決策，並且每次都會採用最優策略。博弈模型必須是有限布可以完成的。對兩個人的規則是公平的。p狀態 必敗態 前乙個選手 previous player 將取勝的位置稱為必敗點。n狀態 必勝態 下乙個選手 next play...
博弈論小結
孤單堆的根數異或只會影響二進位制的最後一位，但充裕堆會影響高位 非最後一位 乙個充裕堆，高位必有一位不為0，則所有根數異或不為0。故不會是t態。定理5 s0態，即僅有奇數個孤單堆，必敗。t0態必勝。證明 s0態，其實就是每次只能取一根。每次第奇數根都由己取，第偶數根都由對 方取，所以最後一根必己取。...
博弈論學習小結
最近學習了一下博弈論的一些知識，也做了一些題目，下面本人對三種比較基本的博弈知識作如下小結 1 巴什博奕 給對手留下 m 1 的倍數即可勝。如一堆n個物品，最多取m個，最少1個 if n m win else if n m 1 m n m 1 1 win else lose 2 威佐夫博奕 兩堆物品...