今天我們看一下動態規劃的硬幣找零問題，主要通過一系列程式設計題分析動態規劃的規律，只要掌握這一規律，許多動態規劃的相關問題都可以模擬得到。
題目1：給定陣列arr，arr中所有的值都是正數且不重複。每個值代表一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，再給定乙個整數aim代表要找的錢數，求組成aim的最少貨幣數。
舉例：
arr[5,2,3]，aim=20。 4張5元可以組成20元，其他的找錢方案都要使用更多張的貨幣，所以返回4。
題解：一眼看去這道題好像可以用貪心演算法可解，但是仔細分析發現有些值是不可以的，例如arr[1,3,4]，aim=6 ：用貪心演算法算最少錢數為3 (4+1+1)，但是我們可以明顯的發現用兩張3元的就夠了，所以用貪心演算法不可解。
其實這是一道經典的動態規劃方法，我們可以構造乙個dp陣列，如果arr的長度為n，則dp陣列的行數為n，列數為aim+1，dp[i][j] 的含義是：在可以任意使用arr[0..i]貨幣的情況下，組成j所需要的最小張數。
明白以上定義後我們初始化第一行與第一列，第一行dp[0][0..aim]中每乙個元素dp[0][j]表示用arr[0]貨幣找開面額 j所需要的最少貨幣數，此時我們只能選取arr[0]這一張貨幣，所以只有arr[0]的整數倍的面額錢才可以找開，例如當arr[0]=3，aim=10時，只能找開3,6,9的貨幣，而其他面額的則無法找開，所以將arr[0][3,6,9]初始化為1,2,3 除此之外其他值初始化為整形int的最大值int_max表示無法找開。對於第一列dp[0..n][0] 中的每乙個元素dp[i][0]表示用arr[i]組成面額為0的錢的最少貨幣數，完全不需要任何貨幣，直接初始化為0即可。
對於剩下的任意dp[i][j]，我們依次從左到右，從上到下計算，dp[i][j]的值可能來自下面：
以上所有情況中，最終取張數最小的，即dp[i][j] = min( dp[i-1][j-k*arr[i]]+k )( k>=0 )
=>dp[i][j] = min } 令x = y+1
=>dp[i][j] = min }
又有 min => dp[i][ j-arr[i] ] ,所以，最終有：dp[i][j] = min。如果j-arr[i] < 0，即發生了越界，說明arr[i]太大了，用一張都會超過錢數j，此時dp[i][j] = dp[i-1][j]。
int coinchange(vector& arr, intaim)
}for(int i=1; i)
dp[i][j] = min( dp[i-1
][j], left );
}}
return dp[len-1][aim]==int_max ? -1 : dp[len-1
][aim];
}
參見leetcode : 322. coin change
上面的問題還可以進行空間壓縮，此處不再贅述。
上面說貪心演算法不可解其實面值在部分情況下可以用貪心演算法解決，如果可換的硬幣的單位是 c 的冪，也就是 c0，c1，... ，ck ,其中整數 c>1，k>=1，一定可以用貪心演算法，或者某些情況比如，面值為1，5，10，20，50，100時，貪心找零也一定有最優解。參見《挑戰程式設計競賽》第二版2.2.1節。
題目2： 給定陣列arr，arr中所有的值都為正數，每個值僅代表一張錢的面值，再給定乙個整數aim代表要找的錢數，求組成aim的最小貨幣數。
題解: 相對於上一題，這道題的arr中的錢只有一張，而不是任意多張，構造dp陣列的含義也同上，但是此時略有不同，
dp第一行dp[0][0..aim]的值表示只使用一張arr[0]貨幣的情況下，找某個錢數的最小張數。比如arr[0]=2，那麼能找開的錢數僅為2, 所以令dp[0][2]=1。因為只有一張錢，所以其他位置所代表的錢數一律找不開，一律設為int_max。第一列dp[0…n-1]表示找的錢數為0時需要的最少張數，錢數為0時完全不需要任何貨幣，所以全設為0即可。
剩下的位置從左到右，從上到下計算，dp[i][j]可能的值來自於以下兩種情況
dp[i][j]的值代表在可以任意使用arr[0..i]貨幣的情況下，組成j所需要的最小張數。可以任意使用arr[0..i]貨幣的情況當然包括不使用arr[i]的貨幣，而只使用任意arr[0..i-1]貨幣的情況，所以dp[i][j]的值可能為dp[i-1][j]。
因為arr[i]只有一張不能重複使用，所以我們考慮dp[i-1][j-arr[i]]的值，這個值代表在可以任意使用arr[0..i-1]貨幣的情況下，組成j-arr[i]所需的最小張數。從錢數為j-arr[i]到錢數j,只用在加上這張arr[i]即可。所以dp[i][j]的值可能等於do[i-1][j-arr[i]]+1。
如果dp[i-1][j-arr[i]]中j-arr[i] < 0，也就是位置越界了，說明arr[i]太大了，只用一張就會超過錢數j,令dp[i][j]=dp[i-1][j]即可。
int coinchange(vector& arr, intaim)
if ( arr[0] <=aim )
for(int i=1; i)
dp[i][j] = min( dp[i-1
][j], leftup );}}
return dp[len-1][aim]==int_max ? -1 : dp[len-1
][aim];
}
題目3：給定陣列arr,arr中所有的值都為正數且重複。每個值代表一種面值的貨幣，每種面值的貨幣可以使用任意張，再給定乙個整數aim代表要找的錢數，求換錢有多少種方法。
題解： 模擬題目1，每個面值的錢可以使用任意多次，我們可以構造乙個dp陣列，如dp陣列的行數為n，列數為aim+1，dp[i][j] 的含義是：在可以任意使用arr[0..i]貨幣的情況下，組成錢數j有多少張方法。。
第一行dp[0][0..aim]中每乙個元素dp[0][j]表示用arr[0]貨幣找開面額 j的方法，此時我們只能選取arr[0]這一張貨幣，所以只有arr[0]的整數倍的面額錢才可以找開，例如當arr[0]=3，aim=10時，只能找開3,6,9的貨幣，且只有一種方法即只是用arr[0]，而其他面額的則無法找開，所以將arr[0][3,6,9]初始化為1 除此之外其他值初始化為0表示無法找開。對於第一列dp[0..n][0] 中的每乙個元素dp[i][0]表示用arr[i]組成面額為0的錢的最少貨幣數，完全不需要任何貨幣，即一種方法，初始化為1。
對於剩下的任意dp[i][j]，我們依次從左到右，從上到下計算，dp[i][j]的值下面的方法數的和：
其實從第二種情況到第k種情況方法的累加值其實就是dp[i][j-arr[i]]的值，所以dp[i][j] = dp[i-1][j] + dp[i][j-arr[i]] 。
int countways(vector arr, int n, intaim)
for (int i = 1; i)
}return dp[n - 1
][aim];
}
題目4：給定陣列arr，arr中所有的值都為正數且重複。每個值代表一張錢的面值再給定乙個整數aim代表要找的錢數，求換錢有多少種方法。
題解：模擬題目2，也是每個錢只能使用一次，此處不做解釋
給出一道例題及答案：
例題：給定乙個有n個正整數的陣列a和乙個整數sum,求選擇陣列a中部分數字和為sum的方案數。當兩種選取方案有乙個數字的下標不一樣,我們就認為是不同的組成方案。
輸入描述: 輸入為兩行: 第一行為兩個正整數n(1 ≤ n ≤ 1000)，sum(1 ≤ sum ≤ 1000)，第二行為n個正整數a[i](32位整數)，以空格隔開。
輸出描述: 輸出所求的方案數
輸入例子:
5 15
5 5 10 2 3
輸出例子:
4
#include #include#include
#include
using
namespace
std;
intmain()
if (sum >= vec[0
])
for (int i = 1; i)
else}}
cout
<< dp[a - 1][sum] <}
}
進一步的優化交給讀者自己思考咯。
參考《程式設計師**面試指南》
動態規劃之硬幣找零問題
將 n 個硬幣按照面值進行排序,使得 c 1 c 2 c n s leftarrow empty while x 0 k leftarrow largest coin denomination c k such that c k leq x 最大硬幣面值 c k 使得 c k leq x if no...
硬幣找零問題（動態規劃）
給定指定的硬幣種類，面值為 1,3,5 在此具體化些 給定所找零的錢數 sum，給出最少的硬幣找零數，每個種類的硬幣無限使用。看到這問題，當時我想到用貪心演算法來求解，最後求解方案因為巧合對了，後來在網上看到動態規劃的題目，才知道貪心演算法得不到最優解，比如 給定 面值為 1,3,4，給定找零數為 ...
硬幣找零問題 動態規劃問題
看到了 這文章，由於我不太懂他的 所以我按他的題和思路，寫了 思路我就不寫了，就是動態規劃的思路，先保證區域性最優，再慢慢向全區域性最優 include include include include using namespace std const int m 100 int coinsum m...