前言：揹包學了無數遍，這次總算能記住點東西了qaq
揹包是線性dp中一類重要而特殊的模型。
0/1揹包
給定$n$個物品，其中第$i$個物品的體積為$w_$，價值為$c_$。現在給你乙個體積為$m$的揹包，問怎樣選擇使得物品總價值最大？
我們先考慮樸素演算法。
設$f[i][j]$為已經考慮了前$i$個物品，選出總體積為$j$的物品放入揹包所取得的最大價值。
如果不選第$i$件物品，則$f[i][j]=f[i-1][j]$。
如果選第$i$件物品，則$f[i][j]=f[i-1][j-w_]+c_ (j\geq w_)$。兩者中取最大值。
考慮優化：因為在考慮第$i$件物品時只取決於考慮第$i-1$件物品時的情況，所以上面$f$陣列的第一維可以省去。
即$f[j]=max(f[j],f[j-w[i]]+c[i])$。
請注意：$j$是倒序迴圈的。假設正序迴圈：比如用$j-2w_$的情況來更新$j-w$，此時$j-w$已經過度到第$i$個階段，再迴圈到$j-w$時，就會發生「第$i$個階段更新第$i$個階段」的情況，違背了線性dp的原則。而倒序迴圈保證了每個物品只會被考慮一次，符合線性dp的原則。
完全揹包
和0/1揹包差不多，只是增添了乙個條件：每個物品可以被挑選無數次。
和0/1揹包唯一不同的地方：$j$是正序迴圈的。因為每個物品都可以被選無數次。
$f[j]=max(f[j],f[j-w_]+c_$。
多重揹包
和完全揹包的條件不同：每個物品可以被選$t_$次。
最樸素的方法當然是從$0$到$t_$迴圈，每種情況都試一遍。但複雜度較高。
我們可以用二進位制拆分法。眾所周知，$2^0,2^1,2^2,...,2^k-1$可以表示$0$到$2^k -1$的所有整數。所以我們可以用這種方法把物品二進位制拆分。設$r_=c_-2^0-2^1-...-2^p$，則可以拆分為$p+2$個物品，體積分別為$2^0 *w_,2^1 *w_,...,2^p *w_,r_*w_$。此方法將物品拆分為$logc_$個，效率較高。
分組揹包
條件變化：有$i$組物品，每組物品有$k$個，每組最多選乙個物品，求最大價值。
直接讓$k$迴圈選取即可，只要選完了就立即從第$i$個階段過渡到第$i+1$個狀態。
for (int i=1;i<=n;i++)for (int j=m;j>=0;j--)
for (int k=1;k<=c[i];k++)
if (j>=v[i][k]) f[j]=max(f[j],f[i-v[i][k])+w[i][k]
注意$k$迴圈要在$j$迴圈之內。
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