參考《妙用「隱函式的導數法」求圓錐曲線的切線方程》對於圓錐曲線 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0(a^2+b^2\neq 0)\) 求關於 \(x\) 的導數得以下推導預設切線斜率存在。切線斜率不存在時，換成對 \(y\) 求導即可得出相同的公式。
\(2 a x+b y+b x y'+2 c y y'+d+e y'=0\)
即 \(\displaystyle y'=-\frac\)
設 \(p\left(x_0, y_0\right)\) 是曲線上的一點，則過此點的切線斜率為 \(\displaystyle -\frac\)
所以切線方程為 \(\displaystyle y-y_0=-\frac\left(x-x_0\right)\)
即 \(b x_0 y+2 c y y_0+e y-b x_0 y_0-2 c y_0^2-e y_0=-2 a x x_0-b x y_0-d x+2 a x_0^2+b x_0 y_0+d x_0\)
\(2axx_0+b x_0 y+b x y_0+2 c y y_0+d x+e y=2 a x_0^2+2 c y_0^2+2 b x_0 y_0+d x_0+e y_0\)
\(\displaystyle axx_0+\frac2+c y y_0+\frac2+\frac2=a x_0^2+b x_0 y_0+c y_0^2+\frac2+\frac2\)
所以切線方程為 \(\displaystyle a x x_0+b \frac2+c y y_0+d \frac2+e \frac2+f=0\)
綜上，若求圓錐曲線 \(ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0\) 以 \(p\left(x_0,y_0\right)\) 為切點的切線方程，只需將圓錐曲線方程中的這些字母進行替換：
替換前替換後
\(x^2\)
\(x_0x\)
\(y^2\)
\(y_0y\)
\(x\)
\(\dfrac2\)
\(y\)
\(\dfrac2\)
\(xy\)
\(\dfrac2\)
特殊地，若圓錐曲線的方程是配方後的形式：\(a(x-m)^2+b(y-n)^2+c=0\)，則過點 \(m\left(x_0,y_0\right)\) 的切線方程為 \(a\left(x_0-m\right)(x-m)+b\left(y_0-n\right)(y-n)+c=0\)
要證明這個公式，可以直接對 \(a(x-m)^2=ax^2-2amx+am^2\) 套用上面的結論，即 \(ax_0x-2am\frac2 +am^2 = ax_0x-amx_0-amx+am^2=ax(x_0-m)-am(x_0-m)=a(x_0-m)(x-m)\)，所以 \(a(x-m)^2 \rightarrow a(x_0-m)(x-m)\)
同理有 \(b(x-n)^2 \rightarrow b(x_0-n)(x-n)\)
故 \(a(x-m)^2+b(y-n)^2+c=0 \rightarrow a\left(x_0-m\right)(x-m)+b\left(y_0-n\right)(y-n)+c=0\)
或者，也可以直接對 \(a(x-m)^2+b(y-n)^2+c=0\) 求關於 \(x\) 的導數，得 \(2a(x-m)+2b(y-n)y'=0\)，即 \(y'=-\frac\)
所以切線方程為 \(y-y_0=-\frac(x-x_0)\)
即 \(a(x_0-m)(x-x_0)+b(y_0-n)(y-y_0)=0\)
\(a(x_0-m)(x-m+m-x_0)+b(y_0-n)(y-n+n-y_0)=0\)
\(a(x_0-m)(x-m)+b(y_0-n)(y-n)=a(x_0-m)^2+b(y_0-n)^2=-c\)
即 \(a\left(x_0-m\right)(x-m)+b\left(y_0-n\right)(y-n)+c=0\)
設圓上一點 \(a\left(x_0, y_0\right)\), 則 \(\overrightarrow\left(x_0-a, y_0-b\right)\)
設切線上任意點 \(b\left(x, y\right)\)
則 \(\overrightarrow=\left(x-x_0, y-y_0\right)\) 為切線的方向向量
因為切線與半徑垂直，所以
\[\begin
&\overrightarrow \cdot \overrightarrow=\left(x-x_0\right)\left(x_0-a\right)+\left(y_0-b\right)\left(y-y_0\right) \\
=& \left(x-a+a-x_0\right)\left(x_0-a\right)+\left(y_0-b\right)\left(y-b+b-y_0\right) \\
=& (x-a)\left(x_0-a\right)+(y-b)\left(y_0-b\right)-\left(x_0-a\right)^2-\left(y_0-b\right)^2 \\
=& 0
\end
\]故有 \(\left(x_0-a\right)\left(x-a\right)+(y_0-b)\left(y-b\right)=\left(x_0-a\right)^2+\left(y_0-b\right)^2=r^2\)
所以切線方程為 \((x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=r^2\)
若點 \(m\left(x_0, y_0\right)\) 在圓 \((x-a)^2+(y-b)^2=r^2\) 上，則過點 \(m\) 的切線方程為 \(\left(x_0-a\right)(x-a)+\left(y_0-b\right)(y-b)=r^2\)
已知圓 \(c:(x-1)^2+y^2=4\)，過點 \((2,\sqrt3)\) 的切線方程為 \((2-1)(x-1)+\sqrt3y=4\)，即 \(x+\sqrt3y-5=0\)
若點 \(p\left(x_0, y_0\right)\) 在橢圓 \(\displaystyle\frac+\frac=1\) 上，則過點 \(p\) 的切線方程為 \(\displaystyle\frac+\frac=1\)
已知橢圓 \(c:\frac4+y^2=1\)，過點 \((1,\frac2)\) 的切線方程為 \(\frac4+\frac2=1\)，即 \(x+2\sqrt3y-4=0\)
若點 \(p\left(x_0, y_0\right)\) 在雙曲線 \(\displaystyle\frac-\frac=1\) 上，則過點 \(p\) 的切線方程為 \(\displaystyle\frac-\frac=1\)
若點 \(p\left(x_0, y_0\right)\) 在拋物線 \(y^2=2px\) 上，則過點 \(p\) 的切線方程為 \(\displaystyle y_0y=2p\frac2\) 即 \(y_0y=p(x_0+x)\)
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