SHOI2014 概率充電器題解

參考：

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【樹形期望dp】[shoi2014]概率充電器

由 \(n-1\) 條導線連通了 \(n\) 個元件。這 \(n-1\) 條導線每條都有 \(p\) 的概率能夠導電，而每個元件本身有 \(q_i\) 的概率被直接充電。電能可以從直接充電的元件經過通電的導線使得其他充電元件進行間接充電。問期望有多少個元件處於充電狀態？

設編號為 \(i\) 的元件被充電的概率為 \(p_i\)，設共有 \(x\) 個元件處於充電狀態。

我們要求的 \(e(x)\) 就是 \(\sum_^n p_i\)

因為 \(n-1\) 條導線連通了 \(n\) 個元件，所以這 \(n\) 個充電元件構成一棵樹。任取乙個節點作為數根。顯然元件 \(i\) 通電有三種可能：

它自己來電了

它的孩子裡有乙個點來電了傳了過來

它的父親來電了傳了過來

第一種情況的概率就是 \(q_i\)，第二種情況的概率明顯可以用遞推來解。至於第三種情況……後面再說

用 \(f_i\) 表示當前元件僅僅因為直接充電或由孩子供電的概率。

對於樹中葉子節點 \(i\)，它沒有孩子，所以\(f_i=q_i\)。

對於非葉子節點 \(i\)，\(f_i=q_i + \sum_(i)} f_j\cdot p_j\)

嗎？不對！

對於兩個相互獨立的事件\(a\)、\(b\)，

\[\boxed}

這其實是「容斥原理」

所以，上面的加法都要換為概率和。方便起見，我把數字 \(a\) 和 \(b\) 的「概率和」記為 \(a\cup b=a+b-ab\)，把集合 \(a\) 中所有元素的「概率和」記為 \(\bigcup_ i\)

所以 \(f_i = q_i \cup \bigcup_(i)} f_j\cdot p_j\)

這樣，我們就可以求出每個元素的 \(f\) 了。寫成表示式就是

\[f_i = \begin

q_i&,\ i \text \\

q_i \cup \bigcup_(i)} f_j\cdot p_j& \text

\end

\]現在把由父親充電的情況加進來！

最簡單的是根節點。對於根節點 \(i\)，它沒有父親，所以 \(p_i=f_i\)

對於其他的節點 \(i\)，它有個父親 \(\textit\)，遞推式為 \(p_i=f_i\cup p_}\cdot p\)

這樣，再從根節點向葉子節點進行一次遍歷，就可以把每個節點的充電概率算出來了。

#include#include#include#include#include#include#define eps (1e-8)
using namespace std;
const int maxn=500000+50;
struct node ;
vectore[maxn];
double q[maxn],f[maxn],p[maxn],ans;
void addedge(int a,int b,double p) );
}bool dcmp(double a) 
void dfs1(int u,int fa) 
}}void dfs2(int u,int fa) 
dfs2(to,u);}}
}void init() 
for (int i=1;i<=n;i++) 
}void solve() 
int main()

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