1.1 數列
定義：依照某種規則排列著的一列數\(x_1,x_2,x_3,…,x_n\)稱為數列，記做,數列中每乙個數叫做數列的項，\(x_n\)叫做數列的一般項。
我們可以把數列中的\(x_n\)看作自變數為正整數\(n\)的乙個函式值 \(x_n=f(n),n=1,2,3,...\)，因此，數列也是函式，它的定義域為全體正整數。
1.2 數列極限
對於數列，當 \(n→∞\)時，\(x_n\)能與某乙個常數\(a\)無限地接近時，這時我們就說數列，當 \(n→∞\)時的極限為\(a\)。
定義：設有數列，如果對於預先給定的任意小的正數\(ε\)，總存在正整數n，使得對於一切\(n>n\)時，有 \(|x_n-a|<ε\)則稱\(a\)為數列的極限，或說數列收斂於\(a\)，記作 \(\lim_x_n=a\)，或當\(n→∞\)時候，\(x_n→a\).如果序列沒有極限，則說數列是發散的。
數列極限的這種定義叫做數列極限的「\(ε-n\)」定義。這裡\(ε\)是任意給定的正數，它主要用於反映\(x_n\)和常數\(a\)的接近程度；\(n\)是乙個自然數，其與預先給定的\(ε\)有關，當\(ε\)減小時，一般地說，\(n\)將會相應地增大。此外，對於乙個\(ε\)，與其相應的n並不是唯一的。
定理1 如果數列收斂，則其極限是唯一的。
定理2 如果數列收斂，則其一定是有界的。也即對於一切\(n(n=1,2,...)\)，總可以找到乙個正數\(m\)，使\(|x_n|≤m\)由收斂數列的有界性可推得無界數列一定是發散的，也即無界數列的極限不存在。
我們知道，數列可以看成是自變數為\(n\)的函式 \(x_n=f(n)\).
數列可以看成是一種特殊型別的函式極限，其自變數\(n\)是取正整數離散地無限增大。數列中\(n\)只有一種變化趨勢，即\(n→∞\).
一般函式\(y=f(x)\)的自變數x是連續變化，其變化趨勢有如下兩種情形：
（1）、自變數\(x\)無限地接近於乙個定數\(x_0\),記作\(x→x_0\);
（2）、自變數\(x\)的絕對值無限地增大,記作為\(x→∞\).
對於函式\(f(x)\),首先設無論\(x\)的絕對值怎樣總是有意義的。如果\(|x|\)無限增大時，對應的函式值是否無限地接近於某乙個常數 \(a\)，也即當\(|x|\)無限增大時，\(f(x)\)與某一常數\(a\)之差的絕對值可小於預先指定的任意小的正數\(ε\)，則此時我們就把 \(a\)叫做函式 \(f(x)\)的極限。
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