計算機數學基礎第一章函式

眾所周知，數的概念充滿了我們的生活空間。整數、分數和零統稱為有理數。無理數在初等數學中已遇見過。如 $\sqrt2$、$\sqrt3$、$π$、$lg5$等等。

一切有理數和無理數統稱為實數。實數與數軸身上的點一一對應，而且充滿數軸並沒有空隙。由此可知，數軸上的每乙個點的座標標識某乙個實數；反之，每乙個實數必是數軸上某一點的座標。

在某些問題的討論中，我們往往限制在一部分實數範圍內考慮，為了簡明地表明部分實數，這裡引進區間概念。

定義：區間是介於某兩個實數之間的全體實數，並稱這兩個實數為區間的斷點。

區間又分為有限區間和無限區間兩大類。

（1）、開區間

設$a$、$b$為兩個實數，且$a < b$,滿足不等式$a < x < b$的一切實數x的全體叫做開區間，記做$(a,b)$.

（2）、閉區間

設$a$、$b$為兩個實數，且$a < b$,滿足不等式$a ≤ x ≤ b$的一切實數的全體叫做閉區間，記做$[ a,b ]$.

（3）、半開區間

設$a$、$b$為兩個實數，且$a < b$，滿足不等式$a < x ≤ b$ 或 $a ≤ x < b$的一切實數$x$的全體叫做半開區間，分別記做$( a,b ]$和$[ a,b)$.

這裡還得提及的是，區間兩個端點間的距離稱為區間的長度。

如上述各個區間的長度均是$b-a$.

兩端沒有限制，即滿足不等式$-∞ < x < +∞$的一切實數構成的區間，記做$(-∞,+∞)$;

左端沒有顯示，而右端有限制，即滿足不等式$-∞ < x < b$或者$-∞ < x ≤ b$的一切實數構成的區間記做$(-∞,b)$或$(-∞,b]$.

其表示小於或小於等於$b$的實數的全體。

右端沒有限制，而左端有限制，即滿足不等式$a < x < +∞$或者$a ≤ x < +∞$的一切實數構成的區間記做$(a,+∞)$或$[a,+∞)$

設$a$與$δ$是兩個實數，且$δ>0$,滿足不等式$|x-a|< δ$的一切實數x的全體稱為點$a$的$δ$鄰域，並稱$a$為鄰域的中心，$δ$為鄰域的半徑。由此顯然有$a-δ < x < a+δ$

可見，鄰域即是以點$a$為中心，長度為2δ的開區間$(a-δ,a+δ)$.

自然現象中，我們常常遇到兩種不同的量，一種是在過程的進行中始終保持不變的量，也即保持一定數值的量；還有一種是在過程的進行中不斷改變的量，即可取不同數值的量，這兩種量即是所謂常量和變數。

定義：在某一過程中數值保持不變的量叫做常量，數值不斷變化的稱為變數。

乙個量是常量還是變數，並不是絕對的，其依賴於研究這個現象的所在場合。如研究乙個圓的面積，他的半徑$r$有確定值，那麼$r$是常量。若研究若干個半徑不相同的圓的面積時，$r$即是變數了。

對於量$x$，其每乙個值都是乙個數，因此可用數軸上乙個點來代表它。如果$x$是常量，則在數軸上用乙個定點來表示，如果$x$是變數，則在數軸上用乙個動點來表示。

4.1、函式

自然界中，每一事物的運動都與它周圍其他事物相互聯絡，並相互制約，如圓的面積$s$依賴於它的半徑$r$，其$s$與$r$之間的關係由公式$s=πr^2$確定。

又如，在自由落體運動中，落下的距離s隨時間t在變化，它們的依賴關係用公式 $s=\fracgt^2$ 來確定，其中$g$為重力加速度。

在數學中，對於同一變化過程中變數之間的這種確定關係就是所謂函式關係。

定義：設$x$和$y$是兩個變數，當$x$在其允許取值範圍內取某個特定值時，變數$y$依賴某種確定的關係也有乙個確定的值與之對應。則稱$y$是$x$的函式。記做 $y=f(x)$。其中$x$叫做自變數，$y$叫做因變數，自變數$x$的允許取值範圍叫做函式的定義域。

$f(x)$也表示與$x$值相對應的函式值，全體函式值縮成的集體叫做函式的值域。

$y$是$x$的函式也可記為 $y=g(x)$、$y=φ(x)$、$y=f(x)$。

4.2、函式的表示方法

表示函式的對應關係可以用各種方式表達出來，通常有解析法、列表法和影象法。

(1)、解析法

解析法即是對兩個變數之間的函式關係用解析式子來表示，也即用數學式子來表示。如$y=2x^2$、$y=sinx$等等，解析法又稱為分析法。

(2)、列表法

列表法即是對兩個變數之間的函式關係用**來表示。

(3)、影象法

影象法即是對兩個變數之間的函式關係用影象表示。

必須指出的是，兩個變數的函式關係不一定由乙個解析式給出，對於不同的定義域由不同的解析式給出。如$y=f(x)=x+1(x<0),0(x=0),x-1(x>0)$

4.3 復合函式

定義：設$y$是$u$的函式$y=f(u)$，而$u$又是$x$的函式 $u=μ(x)$，則y稱為x的復合函式，記作 $y=f[φ(x)]$其中$u$稱為中間變數。

通常我們把無中間變數的函式稱為簡單函式。

定義：設有函式 $y=f(x)$，若對於自變數x的乙個值，因變數$y$只有乙個確定的值與之對應，則稱為這種函式為單值函式。否則稱這種函式為多值函式。

定義：對於函式 $y=f(x)$ ，若 $ f(-x)=-f(x)$ 則稱該函式為奇函式；若 $f(-x)=f(x)$ 則稱該函式為偶函式。

顯然，偶函式的圖形對稱於$y$軸。而奇函式的而圖形對稱於原點。

定義：對於函式 $y=f(x)$,若存在一實數 $t≠0$，有 $f(x+t)=f(x)$ 則稱該函式為以t為週期的週期函式，否則稱$f(x)$ 為非週期函式。

定義：對於函式 $y=f(x)$，若在區間$(a,b)$內有任意兩點 $x_1$、$x_2$，當$x_1$

<$x_2$時，有 $f(x_1)則稱該函式在區間\((a,b)$內為單調增加；當$x_1$

<$x_2$時，有 $f(x_1)$>$f(x_2)$則稱該函式在區間$(a,b)$內為單調減少。

顯然，單調增加函式即是沿橫軸方向上公升，單調減少函式即是沿橫軸方向下降。

同樣，我們可以定義無限區間上的單調增加或單調減少的函式，在整個區間上為單調增加或單調減少的函式稱為單調函式。

定義：對於函式 $y=f(x)$，若存在乙個正數$m$，對定義域上的任意$x$，總有$|f(x)|≤m$則稱$f(x)$為定義域上的有界函式。若這樣的數$m$不存在，則稱$f(x)$為定義域上的無界函式.

定義：對於函式$y=f(x)$，若將$y$當做自變數，$x$當做因變數，用$y$寫出$x$的表示式$x=μ(y)$叫做$f(x)$的反函式，稱$f(x)$為直接函式。

不難知道反函式的圖形與直接函式的圖形關於直線$y=x$對稱。

冪函式、指數函式、對數函式、三角函式和反三角函式統稱為基本初等函式，他們分別為

1、冪函式 $y=x^μ$(μ是實數)

2、指數函式 $y=a^x(a>0，a≠1)$

3、對數函式 $y=log_ax(a>0,a≠1,,x>0)$

4、三角函式 $y=sinx,y=cosx,y=tgx,y=ctgx$

5、反三角函式 $y=arcsinx,y=arccosx,y=arctgx,y=arcctgx$

此外函式$y=c$(c為常數) 稱為常值函式，它的圖形是平行於$x$軸的直線。

定義：由基本初等函式經過有限次四則運算以及有限次的符合步驟而構成，並能用解析式子表示的函式都稱為初等函式。

最後我們還得指出的是，只有乙個自變數的函式稱為一元函式，有兩個或兩個以上自變數的函式稱為多元函式。

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