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最近學習了一下博弈論，發現好玩之餘，很考驗智商。
首先，我們要討論一些看似顯然但是十分有用的定義（公理）
我們定義先手必敗態為p，先手必勝態為n，任何乙個狀態不是n就是p，不是p就是n，沒有別的選擇。
有了上面的三條公理，我們就可以進行很多的思考了。
當然還有sg函式這個神器。
乙個狀態的sg函式是評估乙個點勝負的指標，假如算出來sg值為0，那麼必敗，否則必勝。
\(sg_x=mex\\)
也就是x可以轉移到的狀態y的sg值的mex就是當前的sg值，mex定義為這個集合內的數的最小沒有出現過的自然數，也就是自然數集意義下的補集的最小值。其中終止狀態的sg為0，可以用這個作為邊界遞推。
還要知道乙個\(sg\)定理：
\(sg=sg_1 \bigoplus sg_2 \bigoplus sg_3 \bigoplus \dots \bigoplus sg_n\)
什麼意思呢？這個就是說，假如乙個遊戲可以拆分成若干個互不影響的子遊戲時，這個遊戲的sg值就等於各個遊戲的sg值的異或和，可以用這個來快速計算很多可以拆分的局面。經常設好sg之後就用這個來打表猜結論（結合sg函式和三大公理）。
下面來具體講一下各種的遊戲，其中以nim遊戲最為重要。之後還會講一下各類博弈問題的處理方法（對抗搜尋（也就是博弈搜尋），二分圖博弈……）。
\(\quad\)
\(\quad\)
最基礎的題：bash v1
變形：另外一種問法
小變形：bash v2
再變形：bash v3
斐波那契博弈：bash v4
有下界的bash博弈：bash v5
\(\quad\)
最基礎的題：wythoff v1
\(\quad\)
最基礎的題：nim game
\(\quad\)
個人認為，環形博弈是對稱博弈的一種特殊情況，所以都歸在這裡講。
這個對稱博弈指的是：有n個石子圍成的乙個環，a和b輪流取石子，每次可以取[1,k]中的某個數個的相鄰的石子（原來的環上相鄰），誰不能操作誰輸，問誰贏？
分幾類來討論
\(k\geq n\)，顯然肯定是先手勝。
\(k=1\),也就是一顆一顆取，顯然，n是偶數的時候先手勝。
\(k\not=1\)且\(k，一定是後手贏，因為先手取**你就對稱地取**，你不行了的時候，他肯定比你早不行的。
這就是對稱博弈，不算特別難。
\(\quad\)
棋盤類：hdu 2147
數字類：hdu 1525
日期類：hdu 1079
博弈論入門
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博弈論入門
參考 三個簡單的博弈論問題 博弈 1066 bash遊戲 原題傳送 有一堆石子共有n個。a b兩個人輪流拿，a先拿。每次最少拿1顆，最多拿k顆，拿到最後1顆石子的人獲勝。假設a b都非常聰明，拿石子的過程中不會出現失誤。給出n和k，問最後誰能贏得比賽。例如n 3，k 2。無論a如何拿，b都可以拿到最...
博弈論入門
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