Miller Rabin質數測試

本文主要討論使用miller-rabin演算法編寫素數的判定演算法，題目**於hihocoder。

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描述

使用miller-rabin演算法進行質數素數測試，要求輸入乙個數字，對其是否是素數進行判定，並列印出相對應的結果。

輸入

第1行：1個正整數t，表示數字的個數，10≤t≤50

第2..t+1行：每行1個正整數，第i+1行表示正整數a[i]，2≤a[i]≤10^18

輸出

第1..t行：每行1個字串，若a[i]為質數，第i行輸出"yes"，否則輸出"no"

樣例輸入

3  37

9

yes

yesno

費馬小定理：對於質數p和任意整數a，有a^p ≡ a(mod p)(同餘)。反之，若滿足a^p ≡ a(mod p)，p也有很大概率為質數。

將兩邊同時約去乙個a，則有a^(p-1) ≡ 1(mod p)

否則我們再隨機選取乙個新的數a進行測試。如此反覆多次，如果每次結果都是1，我們就假定n是質數。

該測試被稱為fermat測試。需要注意的是：fermat測試不一定是準確的，有可能出現把合數誤判為質數的情況。

miller和rabin在fermat測試上，建立了miller-rabin質數測試演算法。

如果p是奇素數，則x^2 ≡ 1(mod p)的解為x ≡ 1或x ≡ p - 1(mod p)如果a^(n-1) ≡ 1 (mod n)成立，miller-rabin演算法不是立即找另乙個a進行測試，而是看n-1是不是偶數。如果n-1是偶數，另u=(n-1)/2，並檢查是否滿足二次探測定理即a^u ≡ 1或a^u ≡ n - 1(mod n)。

將這兩條定理合起來，也就是最常見的miller-rabin測試。

盡可能提取因子2，把n-1表示成d*2^r,如果n是乙個素數，那麼或者a^d mod n==1，或者存在某個i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 (0<=i這裡需要注意的是，我們將該定理作為判定條件，仍然是乙個不確定的概率判定條件。miller-rabin素性測試同樣是不確定演算法，我們把可以通過以a為底的miller-rabin測試的合數稱作以a為底的強偽素數(strong pseudoprime)。第乙個以2為底的強偽素數為2047。第乙個以2和3為底的強偽素數則大到1 373 653。

所以我們在實際使用過程中，使用rand()函式生成隨機數，或者進行多次檢測判定，還是能夠得到比較高的判定成功率，miller-rabin演算法對於素數的研究判定有著巨大的輔助作用。

#include #include using namespace std;

typedef long long llong;
//求取(x * y) % n
llong mod(llong x, llong y,llong n)
return res;
}//求取(x ^ y) % n
llong get_mod(llong x, llong y, llong n)
return res;
}//編寫bool函式，判定是否為素數
bool is_prime(llong n, int t)
//根據二次探測定理，只要不滿足(a == 1) || (a == n - 1)，就會一直遍歷下去，直到最後返回false
if(i >= k)
return false;}}
return true;
}//主函式
int main()
return 0;
}

//求取(x * y) % n

llong mod(llong x, llong y,llong n)
return res;
}

這個函式使用移位運算，通過將y轉換成二進位制形式，十分高效地求取了兩個數字乘積的餘數。

//求取(x ^ y) % n

llong get_mod(llong x, llong y, llong n)
return res;
}

//編寫bool函式，判定是否為素數

bool is_prime(llong n, int t)
//根據二次探測定理，只要不滿足(a == 1) || (a == n - 1)，就會一直遍歷下去，直到最後返回false
if(i >= k)
return false;}}
return true;
}

即數字是否是素數的判定函式，依照我們在上文提出的加強定理，包含如下要點：

個人部落格：

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費馬小定理 對於質數p和任意整數a，有a p a mod p 同餘 反之，若滿足a p a mod p p也有很大概率為質數。將兩邊同時約去乙個a，則有a p 1 1 mod p 也即是說 假設我們要測試n是否為質數。我們可以隨機選取乙個數a，然後計算a n 1 mod n，如果結果不為1，我們可以...

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這種質數演算法是基於費馬小定理的乙個擴充套件。費馬小定理 對於質數p和任意整數a，有a p a mod p 同餘 反之，若滿足a p a mod p p也有很大概率為質數。將兩邊同時約去乙個a，則有a p 1 1 mod p 也即是說 假設我們要測試n是否為質數。我們可以隨機選取乙個數a，然後計算a...