二分查詢演算法基本思想

二分查詢演算法的前置條件是,乙個已經排序好的序列(在本篇文章中為了說明問題的方便,假設這個序列是公升序排列的),這樣在查詢所要查詢的元素時,首先與序列中間的元素進行比較,如果大於這個元素,就在當前序列的後半部分繼續查詢,如果小於這個元素,就在當前序列的前半部分繼續查詢,直到找到相同的元素,或者所查詢的序列範圍為空為止.

用偽**來表示, 二分查詢演算法大致是這個樣子的:

1 left = 0, right = n -1
2while (left <=right)
3     mid = (left + right) / 2
4case
5         x[mid] < t:    left = mid + 1
;6         x[mid] = t:    p = mid; break
;7         x[mid] > t:    right = mid -1;8
9return -1;

view code

第乙個正確的程式

根據前面給出的演算法思想和偽**, 我們給出第乙個正確的程式,但是,它還有一些小的問題,後面會講到

int search(int array, int n, int v)
else if (array[middle] < v)
else
}return -1;
}

下面,講講在編寫二分查詢演算法時可能出現的一些問題.

邊界錯誤造成的問題

二分查詢演算法的邊界,一般來說分兩種情況,一種是左閉右開區間,類似於[left, right),一種是左閉右閉區間,類似於[left, right].需要注意的是, 迴圈體外的初始化條件,與迴圈體內的迭代步驟, 都必須遵守一致的區間規則,也就是說,如果迴圈體初始化時,是以左閉右開區間為邊界的,那麼迴圈體內部的迭代也應該如此.如果兩者不一致,會造成程式的錯誤.比如下面就是錯誤的二分查詢演算法:

這個演算法的錯誤在於, 在迴圈初始化的時候,初始化right=n,也就是採用的是左閉右開區間,而當滿足array[middle] > v的條件是, v如果存在的話應該在[left, middle)區間中,但是這裡卻把right賦值為middle - 1了,這樣,如果恰巧middle-1就是查詢的元素,那麼就會找不到這個元素.

下面給出兩個演算法, 分別是正確的左閉右閉和左閉右開區間演算法,可以與上面的進行比較:

（下面這兩個演算法是正確的）

死迴圈上面的情況還只是把邊界的其中乙個寫錯, 也就是右邊的邊界值寫錯, 如果兩者同時都寫錯的話,可能會造成死迴圈,比如下面的這個程式:

1
int search_bad2(int array, int n, intv)2
14else
if (array[middle] 
1518
else
1922}23
24return -1
;25 }

view code

這個程式採用的是左閉右閉的區間.但是,當array[middle] > v的時候,那麼下一次查詢的區間應該為[middle + 1, right], 而這裡變成了[middle, right];當array[middle] < v的時候,那麼下一次查詢的區間應該為[left, middle - 1], 而這裡變成了[left, middle].兩個邊界的選擇都出現了問題, 因此,有可能出現某次查詢時始終在這兩個範圍中輪換,造成了程式的死迴圈.

溢位前面解決了邊界選擇時可能出現的問題, 下面來解決另乙個問題,其實這個問題嚴格的說不屬於演算法問題,不過我注意到很多地方都沒有提到,我覺得還是提一下比較好.

在迴圈體內,計算中間位置的時候,使用的是這個表示式:

middle = (left + right) / 2;

假如,left與right之和超過了所在型別的表示範圍的話,那麼middle就不會得到正確的值.

所以,更穩妥的做法應該是這樣的:

middle = left + (right - left) / 2;

更完善的演算法

前面我們說了,給出的第乙個演算法是乙個"正確"的程式, 但是還有一些小的問題.

首先, 如果序列中有多個相同的元素時,查詢的時候不見得每次都會返回第乙個元素的位置, 比如考慮一種極端情況:序列中都只有乙個相同的元素,那麼去查詢這個元素時,顯然返回的是中間元素的位置.

其次, 前面給出的演算法中,每次迴圈體中都有三次情況,兩次比較,有沒有辦法減少比較的數量進一步的優化程式?

《程式設計珠璣》中給出了解決這兩個問題的演算法,結合前面提到溢位問題我對middle的計算也做了修改:

1
int search4(int array, int n, intv)2
15else
1619}20
21if (right >= n || array[right] !=v)
2225
26return
right;
27 }

這個演算法是所有這裡給出的演算法中最完善的乙個,正確,精確且效率高.

但是這個演算法的還是不能很好的理解

可以用下面的演算法，可以找出滿足條件的數

1
int bi_search(int a,int n,int b)//
2   
16else
if(a[mid]>b)  
17             high = mid -1
;  18
else
19             low = mid +1
;  20
}  21
22return
last;  
2324
}  25
int bi_search1(int a,int n,int b)//
大於b的第乙個數   
26  
40else
if (a[mid]<=b)  
41  
44}  
4546
return
last;  
47}  
48int bi_search(int a,int n,int b)//
49 63
else
if(a[mid]>b)
64             high = mid -1;65
else
66             low = mid +1;67
}6869return
last;
7071}72
int bi_search1(int a,int n,int b)//
大於b的第乙個數
7387
else
if (a[mid]<=b)
8891}92
93return
last;
94 }view code

view code

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