學習筆記 Manacher與PAM

挺短，背是挺好背的

manacher用於求回文串長度。思想大概就是：

1、加入字符集之外的識別字元（比如#）分隔開原來相鄰的字母，這樣所有的回文串都變成了以某個字元為中心的（否則如果是偶數長度的回文串還要特判）。

2、考慮藉由以前的資訊求出新的回文串長度。記錄到現在為止最靠右的回文串中最右側的字元下標&其對稱軸的下標，不妨記這個最靠右的串為\(\rm s\)。那麼考慮以當前位置作為對稱軸的答案，一定至少是\(\min\)。然後就不斷擴充套件即可。

3、關於複雜度證明。我們記一次帥氣的操作的意義是成功讓\(ans_i\)的初始值繼承了與之對稱的點的答案和邊界的取\(\min\)，記以當前點為軸的最長回文子串為\(\rm t\)，\(t\)的右端點為\(q\)。可以知道

so,最終複雜度就是\(\theta(n)\)的。

void manacher(char *s)
}int main()

學了pam，不知道為啥感覺比sam簡單？參考的資料會放在最後。

其實就是一種自動機，以回文串為狀態，左右各新增乙個字元為轉移的自動機。要點如下：

0、乙個串的回文子串至多有\(o(n)\)個。

1、首先每個節點需要儲存這個節點中回文串的長度。

2、顯然始狀態需要有兩個，即奇數長度的\(s\)和偶數長度的\(s\)，稱作「奇根」和「偶根」。那麼為了方便呢，奇根的長度設定為\(-1\)，偶根長度設定為\(0\)。

3、考慮要從\(last\)指標擴充套件當前狀態，假設當前需要insert的字母是\(c\)，是這個串裡面的第\(p\)個字元，那我們需要找到乙個字尾\(s[j...p-1]\quad s.t.\quad s[j...p-1]\)本身回文且\(s[j-1]=c\)，那麼就可以向下擴充套件。

4、考慮怎麼找這個字尾，顯然對於乙個串\(s\)，他的所有回文字尾都是其最長回文字尾的回文字尾。所以考慮\(fail\)指標，應當從當前狀態連向它的最長回文字尾。

5、插入新節點時，考慮跳完\(fail\)後如果沒有相應的轉移邊，就要新建乙個狀態然後連\(fail\).

然後是**和一點注意：

struct pamp ;
void _init(pam &p)
void _insert(pam &p, int x, int pos, char *s)
p.last = p.trie[u][x] ;
}

6、\(\rm \color\)，以下兩句順序不要寫反：

p.fail[newn] = p.trie[fa][x], p.trie[u][x] = newn,

原因是當\(fa=u\)時就出現環了。

學完才知道，\(\rm pam\)又簡單又好背功能又多……manacher被打爆了啊喂qwq。