定義：∀ n,m ,(n,m)=1,m≥2，若n是模m的二次剩餘《==》x**2 ≡ n (mod m)有解
例：若n=2,m=3，x**2 ≡ 2 (mod 3)無解，則2是模3的二次非剩餘
若n=2,m=7，x**2 ≡ 2 (mod 7)在x=3時成立，有解，故2是模7的二次剩餘
th1:在模p(奇素數)的縮系中，有(p-1)/2個二次剩餘和(p-1)/2個二次非剩餘，且其中二次剩餘為a:
證明：（a中元素兩兩不同）
假設 ∃i,j i≠j ,1≤i≤(p-1)/2有
≡ 故≡ i**2 (mod p)
≡ j**2 (mod p)
∴i**2 ≡ j**2 (mod p)
∴p|(i**2-j**2)即p | (i+j)*(i-j)
∵2∴p|i-j,故p≤|i-j|
∵|i-j|<(p-1)/2
∴假設所得結果與事實不成立，故a中元素兩兩不同
（a中每個元素是模p的二次剩餘）
∀ ∈a ,≡ i**2 (mod a)
∴ ∃x=i,有x**2≡ (mod p)
故a中的每個元素是模p的二次剩餘
（n∈(模p的縮系)是模p的二次剩餘，則n∈a）
∃ x,有x**2 ≡ n (mod p)
∴(p-x)**2 ≡ n (mod p)
若x≥(p-1)/2+1,(p-x)≥(p-1)/2+1，則p≥p+1,但p∴n ≡ x**2 (mod p) (或者n ≡ (p-x)**2 (mod p))
∵x≤(p-1)/2(或p-x≤(p-1)/2)
故n∈a,即a中每個元素是模p的二次剩餘，得證
th2:(尤拉判別準則）
引入勒讓德符號：(n/p),其中
①(n/p)=1 --> n是p的二次剩餘
②(n/p)≠1 --> n是p的二次非剩餘
①若(n/p)=1，則n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)
②若(n/p)=-1，則n**((p-1)/2) ≡ -1 (mod p)
證明：（(n/p)=1 => n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)）
∵(n/p)=1
故∃ x,有 x**2 ≡ n (mod p)
∵(x,p)=1，故x**(p-1) ≡ 1 (mod p)
故(x**2)**((p-1)/2) ≡ n**(p-1)/2 (mod p)
即n**((p-1)/2） ≡ 1 (mod p)
（ n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p) => （n/p）=1）
∵n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)，且1 ≠ 0 (mod p)
根據拉格朗日定理，可知對於同余式，解數≤(p-1)/2
又∵對於集合a=
取i∈a,則有()**(p-1)/2 ≡ (i**2)**(p-1)/2 ≡ i**(p-1) ≡ 1 (mod p)
∴a中元素為同余式n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)的解
又∵a中元素恰為(p-1)/2個∴a中元素就是同余式n**((p-1)/2) ≡ 1 (mod p)的解，也就是說n的取值在集合a中
∴(n/p)=1
若(n/p)=-1，則(n/p)≠1
∴n**(p-1)/2 ≠ 1 (mod p)
∵(n,p)=1 ∴n**(p-1) ≡ 1 (mod p)
∴(n**(p-1)/2)**2 ≡ 1(mod p)
∴((n**(p-1)/2)**2)-1 ≡ 0 (mod p)
∴p | (n**(p-1)/2)**2-1 即p | ((n**(p-1)/2)+1)*((n**(p-1)/2)-1)
∵n**(p-1)/2 ≠ 1 (mod p) ∴ p | (n**(p-1)/2)+1 即 (n**(p-1)/2) ≡ -1 (mod p)
得證，綜上所述，n**(p-1)/2 ≡ (n/p) (mod p)
推論：若p 不整除於 m*n,則((m*n)/p)=(m/p)*(n/p)
證明：(m/p)=m**(p-1)/2 (mod p)
(n/p)=n**(p-1)/2 (mod p)
故(m/p)*(n/p)=m**(p-1)/2 * n**(p-1)/2 (mod p)
= (m*n)**((p-1)/2) (mod p)=((m*n)/p) (mod p),得證
高斯引理：
若(p,n)=1,<1*n><2*n>,...,<(p-1)/2*n>中有m個數》p/2,則(n/p)=(-1)**m
證明：設集合a==，其中1≤aip/2,l+m=p-1,a∈
則p-bj≠ ai (mod p)
(證明p-bj≠ ai (mod p):
p/2故0
若p-bj ≡ ai (mod p),則ai+bj≡ 0 (mod p)
∴∃ x,y，有+≡ 0 (mod p)
即≡ 0 (mod p)
∵x,y∈[1,p-1/2]
∴x+y∈[2,p-1]
∴(,p)=1
∵(n,p)=1，故≠ 0 (mod p)
與≡ 0 (mod p)，故不存在這樣的x,y使得p-bj ≡ ai (mod p)成立
∴p-bj≠ ai (mod p)
)∴=(模p的二次剩餘集合)
∴∏ai*∏(p-bj)=((p-1)/2)!
∵ai,bj∈,故
∏ai*∏(p-bj) = [1*2*...*((p-1)/2)]*[(-1)**(m)]*[n**(p-1)/2] ≡ ((p-1)/2)! (mod p)
即 [(-1)**(m)]*[n**(p-1)/2] ≡ 1 (mod p)
∵[n**(p-1)/2] ≡ (n/p) (mod p)
∴ [(-1)**(m)]*[n**(p-1)/2] =(n/p)*(-1)**(m) ≡ 1 (mod p)
∴(n/p)≡(-1)**(m) (mod p)得證
二次剩餘及尤拉準則
前置知識 二次剩餘 二次剩餘表示為qr，二次非剩餘表示為nr。勒讓德符號 left frac right 反證法證明 根據二次剩餘定義 二次剩餘是這樣一些數 12，22，32，p 1 2 mod p 又 p b 2 p2 2pb b2 b2 mod p 12，22，32，left frac righ...
數論 剩餘類 完全剩餘系 縮系 尤拉函式
剩餘類 0 r m 1 m 1 cr r 除m餘r的所有數集合 則c0,c1,c2,cm 1為模m的剩餘類 共有m個 性質1 x z,0 r m 1,x cr cr的定義 x,y cj,0 j m 1，當且僅當x y mod m 完全剩餘系 定義 a0,a1,a2,am 1是模m的一組完全剩餘系 a...
初等數論初步 剩餘類和尤拉函式
一 有關剩餘類 定義1 從模n的每個剩餘類中各取乙個代表元，得到乙個由n個數組成的集合，叫做模n的乙個剩餘類。定義2 用 n 表示從1,2,n中與n互素的整數的個數。定義3 從模n的每個互素剩餘類中各取乙個代表元，得到乙個由 n 個元素組成的集合，叫做模n的簡化剩餘類。定理1 設n為正整數，a,b為...