同余式：
設f(x)=an*(x**n)+an-1*(x**n-1)+...+a1*x+a0(n≥1,ai∈z)，f(x)∈z[x],則f(x)≡0 (modm)是模m的同余式，若an≠ 0(mod m),則f(x)≡0 (modm)的次數為n次
（cr是該同余式的解<==>f(r)≡0 (mod m)）
例：x**5+2x**4+x**3+2x**2-2x+3 ≡ 0 (mod 7)
當r=1時，則1+2+1+2-1+3=7≡0 (mod 7)
當r=2時，則2**5+2*2**4+2**3+2*2**2-2*2+3 =79 ≠ 0 （mod 79）
可求得，當r=1,5,6時，符合此同余式
定義：f(x1,x2,...,xk)∈z[x1,x2,...,xk](k元整數係數多項式)，則
是f(x1,x2,...,xk) ≡ 0(mod m)的解<==>f(r1,r2,...,rk) ≡ 0(mod m)(共有m**k種可能，且同余式的解是剩餘類)
例：y**2-x**3+1≡0 (mod p)
當p=2時，和符合此同余式，即np=2
當p=3時，和,符合此同余式，即np=3
性質1：(a,m)=1,m≥1,則a*x≡b (mod m)恰有一解
證明：c:是模m的一組完全剩餘系
d:也是模m的一組完全剩餘系
a*i ≡ (mod m)
故∃i,有a*i ≡ b (mod m)
∴ci是a*x≡b (mod m)的解（已證明有解）
假設a*i≡ b (mod m), a*j≡b(mod m)，其中i≠j
故a*i ≡ a*j (mod m)
∵(a,m)=1
∴i ≡ j (mod m)
∵i,j ∈,故i=j
又i≠j，故假設不成立，即只存在乙個解（證明唯一性）
性質2：(a,m)=1,則c是a*x≡b (mod m)的唯一解
∵(a,m)=1
∴a**φ(m)≡1 (mod m)
故b*a**φ(m) ≡ b (mod m)
a*(a**(φ(m)-1)*b)≡ b (mod m)
即x ≡ a**(φ(m)-1)*b (mod m)
性質3：若(a,m)=d,則a*x≡ b(mod m)有解，當且僅當d | b
證明：（必要性 有解-> d|b）
∵∃ x0,有a*x0 ≡ b (mod m)
∴∃ y0,有a*x0 = b +m*y0
∴a*x0-m*y0=b
又∵(a,m)|a,(a,m)|m
故(a,m)|b
即d|b
(充分性 d|b->有解)
a*x≡ b(mod m), d|b
故(a/d)*x ≡ b/d (mod m/d)
∵(a/d,m/d)=1,令a1=a/d,b1=b/d,m1=m1/d
則a1*x≡b1(mod m1)且（a1,m1）=1
故根絕性質1，此同余式且有一解x0
∴m/d | (a*x0-b)/d
即m | a*x0-b -->a*x0 ≡ b (mod m)
性質4：若(a,m)=d,d|b 則a*x≡b (mod m)恰有d個解(證明太難，以後補上！！！)
性質5：設k≥1,a1*x1+..+ak*xk ≡ 0 (mod m)有解，當且僅當(a1,a2,...,ak,m) | b ，設(a1,a2,...,ak)=d,若d|b則此同余式的解有(m**(k-1))*d個
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