前言：
書中列舉四個常見問題，分析如何採用動態規劃方法進行解決。今天把動態規劃演算法總結一下。關於四個問題的動態規範分析過程可以參考前面的幾篇日誌，鏈結如下：
裝配線排程問題：
矩陣鏈乘問題：
最長公共子串行問題：
最優二叉查詢樹問題：
1、基本概念
動態規劃是通過組合子問題的解而解決整個問題的，通過將問題分解為相互不獨立（各個子問題包含有公共的子問題，也叫重疊子問題）的子問題，對每個子問題求解一次，將其結果儲存到一張輔助表中，避免每次遇到各個子問題時重新計算。動態規劃通常用於解決最優化問題，其設計步驟如下：
（1）描述最優解的結構。
（2）遞迴定義最優解的值。
（3）按自底向上的方式計算最優解的值。
（4）由計算出的結果構造出乙個最優解。
第一步是選擇問題的在什麼時候會出現最優解，通過分析子問題的最優解而達到整個問題的最優解。在第二步，根據第一步得到的最優解描述，將整個問題分成小問題，直到問題不可再分為止，層層選擇最優，構成整個問題的最優解，給出最優解的遞迴公式。第三步根據第二步給的遞迴公式，採用自底向上的策略，計算每個問題的最優解，並將結果儲存到輔助表中。第四步驟是根據第三步中的最優解，借助儲存在表中的值，給出最優解的構造過程。
動態規劃與分治法之間的區別：
（1） 分治法是指將問題分成一些獨立的子問題，遞迴的求解各子問題。
（2） 動態規劃適用於這些子問題不是獨立的情況，也就是各子問題包含公共子問題。
2、動態規劃基礎
什麼時候可以使用動態規範方法解決問題呢？這個問題需要討論一下，書中給出了採用動態規範方法的最優化問題中的兩個要素：最優子結構和重疊子結構。
1）最優子結構
最優子結構是指問題的乙個最優解中包含了其子問題的最優解。在動態規劃中，每次採用子問題的最優解來構造問題的乙個最優解。尋找最優子結構，遵循的共同的模式：
（1）問題的乙個解可以是做乙個選擇，得到乙個或者多個有待解決的子問題。
（2）假設對乙個給定的問題，已知的是乙個可以導致最優解的選擇，不必關心如何確定這個選擇。
（3）在已知這個選擇後，要確定哪些子問題會隨之發生，如何最好地描述所得到的子問題空間。
（4）利用「剪貼」技術，來證明問題的乙個最優解中，使用的子問題的解本身也是最優的。
最優子結構在問題域中以兩種方式變化：
（1）有多少個子問題被使用在原問題的乙個最優解中。
（2）在決定乙個最優解中使用哪些子問題時有多少個選擇。
動態規劃按照自底向上的策略利用最優子結構，即：首先找到子問題的最優解，解決子問題，然後逐步向上找到問題的乙個最優解。為了描述子問題空間，可以遵循這樣一條有效的經驗規則，就是盡量保持這個空間簡單，然後在需要時再擴充它。
注意：在不能應用最優子結構的時候，就一定不能假設它能夠應用。 警惕使用動態規劃去解決缺乏最優子結構的問題！
使用動態規劃時，子問題之間必須是相互獨立的！可以這樣理解，n個子問題域互不相干，屬於完全不同的空間。
2）重疊子問題
用來解決原問題的遞迴演算法可以反覆地解同樣的子問題，而不是總是產生新的子問題。重疊子問題是指當乙個遞迴演算法不斷地呼叫同乙個問題。動態規劃演算法總是充分利用重疊子問題，通過每個子問題只解一次，把解儲存在乙個需要時就可以檢視的表中，每次查表的時間為常數。
由計算出的結果反向構造乙個最優解：把動態規劃或者是遞迴過程中作出的每一次選擇（記住：儲存的是每次作出的選擇）都儲存下來，在最後就一定可以通過這些儲存的選擇來反向構造出最優解。
做備忘錄的遞迴方法：這種方法是動態規劃的乙個變形，它本質上與動態規劃是一樣的，但是比動態規劃更好理解！
（1） 使用普通的遞迴結構，自上而下的解決問題。
（2） 當在遞迴演算法的執行中每一次遇到乙個子問題時，就計算它的解並填入乙個表中。以後每次遇到該子問題時，只要檢視並返回表中先前填入的值即可。
3、總結
動態規劃的核心就是找到問題的最優子結構，在找到最優子結構之後的消除重複子問題。最終無論是採用動態規劃的自底向上的遞推，還是備忘錄，或者是備忘錄的變型，都可以輕鬆的找出最優解的構造過程。
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