前言：通常我們會遇到一些問題，採用一些標準的資料結構，如雙鏈表、雜湊表或二叉查詢數時，不能夠滿足操作要求，需要對這些資料結構進行擴張，新增一些額外的資訊使得能夠完成新的操作。附加的資訊需要對資料結構的某些操作進行調整，這個是非常關鍵的步驟，決定著資料結構擴張是否能夠實現。本章主要討論了紅黑樹結構的擴張，介紹了兩種擴張方式。第一種方式擴張使得紅黑色能夠支援動態集合上順序統計，快速找出集合中第i小的數，或給出某個元素在集合的全序中的排名。第二種方式擴張使得紅黑色能夠進行區間操作，可以很快地找到集合中覆蓋的區間。關於紅黑色請參考第13章，
1、動態順序統計
在第九章介紹了順序統計的概念，大概的意思是在包含有n個元素的集合中，第i個順序統計量指的是該集合中第i小的元素。在乙個無序的集合中，任意順序統計量都可以在o(n)時間內找到，詳細情況可以參考書中在此基礎上修改紅黑樹的結構，使得任意的順序統計量都可以再o(lgn)時間內確定。向紅黑樹的結構中新增乙個size域，表示包含自身節點的當前節點的子樹節點的數目。這樣修改後可以快速支援順序統計量操作，將這種修改後的紅黑樹叫做：順序統計量樹t。修改後的結構如下所示：
1例如給定紅黑樹的乙個節點x，則size[x] = size[left[x]]+size[right[x]]+1。size[x]為包含以x為根的子樹的節點數（包含x本身），即子樹的大小。如果哨兵定義為0，即設定size[nil[t]]=0。struct
rbtreenode
2;
下面給出乙個修改後的紅黑樹的例子，如下圖所示：
紅黑樹是二叉排序樹，按照中序遍歷從小到大輸出紅黑樹中的關鍵字。從圖中可以看出，新增size域後，很方便看出每個節點的子樹的節點數目（包含自身節點）。書中在後面討論這種結構的操作，分別討論如下：
（1）檢索具有給定排序的元素
過程os_select(x,i)返回乙個指向以x為根的子樹中包含第小關鍵字的結點的指標，即為了找出順序統計量樹t中的第i小關鍵字，可以呼叫os_select(root[t],i)。書中給出了偽**如下：
1該過程類似二分查詢，每一次遞迴呼叫都在順序統計數中下降一層，故最壞情況下os_select的總時間與樹的高度成正比，紅黑樹的高度為lgn。故os_select的執行時間為：o(lgn)。os_select(x,i)
2 r = size[left[x]]+1
; //先計算x的處於的位置
3if i =r //x正好是第i小的關鍵字
4 then returnx;5
else
if i
6 then return
os_select(left[x],i)
7else
return os_select(right[x],i-r) //x比第i關鍵字小，則在其右子樹查詢
（2）確定乙個元素的秩（位置）
給定指向一順序統計樹t中節點x的指標，求x在順序統計樹中序遍歷得到的線性序中的位置。書中給出了os_rank(t,x)過程的偽**：
1從程式總可以看出當y == root[t]時候迴圈終止，此時以y為根的子樹是課完整樹，此時r值是這顆整樹中key[x]的秩。while迴圈中的每一次迭代花o(1)時間，且y在每次迭代中沿樹上公升一層，故在最壞情況下0s_rank的執行時間與樹的高度成正比：對含n個節點的順序統計樹時間為o(lgn)。os_rank(t,x)
2 r = size[left[x]]+1
; //獲取以x為根子樹中x的位置（中序遍歷）
3 y =x;
4while y !=root[t] //從下向上直到根節點5do
if y =right[p[y]] //如果是右子樹
6 then r = r + size[left[p[y]]]+1
; 7 y =p[y]; //向上移動
8return r;
（3）對子樹規模的維護
在紅黑樹中新增size域後，能夠通過os_select和os_rank迅速計算出所需的順序統資訊。通過修改紅黑樹的插入和刪除操作，在此過程是通過旋轉來修改size域。關於這部分需要在紅黑樹的基礎上進行改進，比較複雜，暫時沒有實現。
2、如何擴張資料結構
對一種資料結構的擴張過程分為四個步驟：
1）選擇基礎資料結構
2）確定要在基礎資料結構中新增哪些資訊
3）驗證可用基礎資料結構上的基本修改操作來維護這些新新增的資訊
4）設計新的操作
書中給出了對紅黑樹進行擴張的定理，並給出了證明，這個看的時候有些難度，暫時跳過了。大概意思就是說當紅黑樹被選作基礎資料結構時，某些型別的附加資訊總是可以用插入和刪除來進行有效地維護。
3、區間樹
這小結講的是擴張紅黑樹以支援由區間構成的動態集合上的操作。區間可以很方便的表示各占用一段連續時間的一些事情。區間樹是一種動態集合進行維護的紅黑樹，該集合中的每個元素x都包含在乙個區間int[x]。區間樹支援下列操作：
interval_insert(t,x)：將包含區間域int的元素x插入到區間樹t中
interval_delete(t,x)：從區間樹t中刪除元素x
interval_search(t,i)：返回乙個指向區間樹t中元素x的指標，使int[x]與i重疊，若集合中無此元素存在，則返回nil[t]。
修改紅黑樹得到的區間樹如下圖所示：
從圖可以看出，對區間樹以每個節點的左端點值進行中序變數即可得到有序的序列。有了區間樹的結果就很容易實現其相關操作。
4、總結
本章主要是介紹一種資料結構擴張的方法，靈活性非常之大。以紅黑樹作為例子，我是在年前看的紅黑樹，並給以實現。年後了，對紅黑樹忘了差不多了。呵呵，真是一天不學習，趕不上啦。本章看完比較鬱悶，沒有去實現。實現的難度非常具有挑戰性，何時能夠實現，我心裡有些忐忑。肯定不會放棄，一定會找個時間把這些實現一下。
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