當輸入規模大到使執行時間只和增長的量級有關時，就是在研究演算法的漸近效率。就是說，從極限角度看，我們只關心演算法執行時間如何隨著輸入規模的無限增長而增長。
表示演算法的漸近執行時間的記號是用定義域為自然數集n= 的函式來定義的。這些記號便於用來表示最壞情況執行時間 t ( n )。
對乙個給定的函式 g ( n )，用 θ ( g ( n ))來表示函式集合：
對任何乙個函式 f ( n )，若存在正常數 c1
， c2
，使當 n 充分大時， f ( n )能被夾在 c1 g ( n )和 c2 g ( n )之間，則 f ( n )屬於集合 θ ( g ( n ))。可以寫成「 f( n ) ∈ θ ( g ( n ))」表示 f ( n )是 θ ( g ( n ))的元素。不過，通常寫成「 f ( n ) = θ ( g ( n ))」來表示相同的意思。
上圖給出了函式 f ( n )和 g ( n )的直觀圖示，其中 f ( n ) = θ ( g ( n ))。對所有位於 n0
右邊的 n 值， f ( n )的值落在 c1 g ( n )和 c2 g ( n )之間。換句話說，對所有的 n >= n0
， f ( n )在乙個常數因子範圍內與 g ( n )相等。我們說 g ( n )是 f ( n )的乙個漸近確界。
θ ( g ( n ))的定義要求每個成員 f ( n ) ∈ θ ( g ( n ))都是漸近非負，就是說當 n 足夠大時 f ( n )是非負值。這就要求函式 g ( n )本身也是漸近非負的，否則集合 θ ( g ( n ))就是空集。
θ 記號的效果相當於捨棄了低階項和忽略了最高端項的係數。
θ 記號漸近地給出了乙個函式的上界和下界。當只有漸近上界時，使用 o 記號。對乙個函式 g ( n )，用 o ( g ( n ))表示乙個函式集合：
上圖說明了 o 記號的直觀意義。對所有位於 n0
右邊的 n 值，函式 f ( n )的值在 g ( n )下。
ω 記號給出了函式的漸近下界。給定乙個函式 g ( n )，用 ω ( g ( n ))表示乙個函式集合：
上圖說明了 ω 記號的直觀意義。對所有在 n0
右邊的 n 值，函式 f ( n )的數值等於或大於 c g ( n )。
定理
對任意兩個函式 f ( n )和 g ( n )， f ( n ) = θ ( g ( n ))當且僅當 f ( n ) = o ( n )和 f ( n ) = ω ( g ( n ))。
o 記號提供的漸近上界可能是也可能不是漸近緊確的。這裡用 o 記號表示非漸近緊確的上界。 o ( g ( n ))的形式定義為集合：
o 記號與 o 記號的主要區別在於對 f ( n ) = o ( g ( n ))，界0 <= f ( n ) <= c g ( n )對某個常數 c > 0成立；但對 f ( n ) = o ( g ( n ))，界0 <= f ( n ) <= c g ( n)對所有常數 c > 0都成立。即
我們用 ω 記號來表示非漸近緊確的下界。 ω ( g ( n ))的形式定義為集合：
關係 f ( n ) = ω ( g ( n ))意味著
如果這個極限存在。也就是說當 n 趨於無窮時， f ( n )相對 g ( n )來說變得任意大了。
設 f ( n )和 g ( n )是漸近正值函式。
傳遞性：
f ( n ) = θ ( g ( n ))和 g ( n ) = θ ( h ( n )) 蘊含 f ( n ) = θ ( h ( n ))
f ( n ) = o ( g ( n ))和 g ( n ) = o ( h ( n )) 蘊含 f ( n ) = o ( h ( n ))
f ( n ) = ω ( g ( n ))和 g ( n ) = ω ( h ( n )) 蘊含 f ( n ) = ω ( h ( n ))
f ( n ) = o ( g ( n ))和 g ( n ) = o ( h ( n )) 蘊含 f ( n ) = o ( h ( n ))
f ( n ) = ω ( g ( n ))和 g ( n ) = ω ( h ( n )) 蘊含 f ( n ) = ω ( h ( n ))
自反性：
f ( n ) = θ ( f ( n ))
f ( n ) = o ( f ( n ))
f ( n ) = ω ( f ( n ))
對稱性：
f ( n ) = θ ( g ( n ))當且僅當 g ( n ) = θ ( f ( n ))
轉置對稱性：
f ( n ) = o ( g ( n ))當且僅當 g ( n ) = ω ( f ( n ))
f ( n ) = o ( g ( n ))當且僅當 g ( n ) = ω ( f ( n ))
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演算法導論 讀書筆記2010 12 6
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