最優二叉搜尋樹（optimal binary search tree）問題的形式化定義如下：給定乙個由 n 個互異的關鍵字組成的序列 k =
, k2
, … , kn
>，且關鍵字有序（有 k1
< …
），我們要從這些關鍵字中構造一棵二叉查詢樹。對每個關鍵字 ki
，一次搜尋為 ki
的概率是 pi
。某些搜尋的值可能不在 k 內，因此還有 n + 1 個「虛擬鍵」 d0
, d1
, … , dn
代表不在 k 內的值。其中， d0
代表所有小於 k1
的值， dn
代表所有大於 kn
的值，而對於 i = 1, 2, …, n - 1 ，虛擬鍵 di
代表所有位於 ki
和 ki
+1 之間的值。對每個虛擬鍵 di
，一次搜尋對應於 di
的概率是 qi
。下圖是 n = 5個關鍵字的集合上的兩棵二叉查詢樹。
其中各結點的概率如下表所示：
每個關鍵字 ki
是乙個內部結點，每個虛擬鍵 di
是乙個葉子。每次搜尋要麼成功（找到某個關鍵字 ki
），要麼失敗（找到某個虛擬鍵 di
），因此有如下公式：
因為已知了每個關鍵字和每個虛擬鍵被搜尋的概率，因而可以確定在一棵給定的二叉查詢樹 t 內一次搜尋的期望代價。假設一次搜尋的實際代價為檢查的結點個數，即在 t 內搜尋所發現的結點的深度加1.所有在 t 內一次搜尋的期望代價為
其中 deptht
代表樹 t 內乙個結點的深度。
對給定的一組概率，我們的目標是構造乙個期望搜尋代價最小的二叉查詢樹。把這種樹稱為最優二叉查詢樹。下面將使用動態規劃方法來解決這個問題。
為描述一棵最優二叉查詢樹的最優子結構，首先要看它的子樹。一棵二叉查詢樹的任意一棵子樹必定包含在連續範圍內的關鍵字 ki
，…， kj
，有 1 <= i
<=j
<= n 。另外，一棵含有關鍵字 ki
，…， kj
的子樹必定也含有虛擬鍵 di
-1 ，…， dj
作為葉子。
現在我們可以描述最優子結構：如果一棵最優二叉查詢樹 t 有一棵包含關鍵字 ki
，…， kj
的子樹 t』 ，那麼這棵子樹 t『 對於關鍵字 ki
，…， kj
和虛擬鍵di
-1 ，…， dj
的子問題也必定是最優的。
使用最優子結構來說明可以根據子問題的最優解，來構造原問題的乙個最優解。給定關鍵字 ki
，…， kj
，假設 kr
（ i<= r
<= j ），將是包含這些鍵的一棵最優子樹的根。根 kr
的左子樹包含關鍵字 ki
，…， kr
-1 （和虛擬鍵 di
-1 ，…， dr
-1 ），右子樹包含關鍵字 kr
+1 ，…， kj
（和虛擬鍵 dr
，…， dj
）。我們只要檢查所有的候選根 kr
，並且確定所有包含關鍵字 ki
，…， kr
-1 和 kr
+1 ，…， kj
的最優二叉查詢樹，就可以保證找到一棵最優的二叉查詢樹。
現在可以遞迴地定義乙個最優解的值了。選取子問題域為找乙個包含關鍵字 ki
，…， kj
的最優二叉查詢樹，其中 i >= 1 ， j
<= n 且 j >= i - 1。（當 j >= i - 1時沒有真是的關鍵字，只有虛擬鍵 di
-1 ）。定義 e [ i , j ]為搜尋一棵包含關鍵字 ki
，…， kj
的最優二叉查詢樹的期望代價。最終，我們要計算的是 e [ 1 ,n ]。
當 j = i - 1時出現簡單情況。此時只有虛擬鍵 di
-1 。期望的搜尋代價為 e [ i , i - 1 ] = qi
- 1。
當 j >= i 時，需要從 ki
，…， kj
中選擇乙個根 kr
，然後用關鍵字 ki
，…， kr
-1 來構造一棵最優二叉查詢樹作為其左子樹，並用關鍵字 kr
+1 ，…， kj
來構造一棵最優二叉查詢樹作為其右子樹。當一棵樹成為乙個結點的子樹時，子樹中每個結點的深度增加1。這個子樹的期望搜尋代價增加為子樹中所有概率的總和。對一棵有關鍵字 ki
，…， kj
的子樹，定義概率的總和為
因此，如果 kr
是一棵包含關鍵字 ki
，…， kj
的最優子樹的根，則有
e [ i , j ] = pr
+ ( e [ i , r - 1 ] + w ( i , r - 1 )) + ( e [ r + 1 ， j ] + w ( r + 1 , j ))
注意w ( i , j ) = w ( i , r - 1 ) + pr
+ w ( r + 1 , j )
可以將 e [ i , j ]重寫為
e [ i , j ] = e [ i , r - 1 ] + e [ r + 1 , j ] + w ( i , j )
假設我們知道該採用哪乙個結點 kr
作為根。我們選擇有最低期望搜尋代價的結點作為根，從而得到最終的遞迴式：
下面的偽碼以概率 p1
，…， pn
和 q1
，…， qn
以及規模為 n 為輸入，返回表 e 和 root 。
optimal-bst(p, q, n)此過程的操作比較直觀。第1～4行初始化 e [ i , j - 1 ]和 w [ i , j - 1 ]的值。第5～14行的1 let e[1 .. n + 1, 0 .. n], w[1 .. n + 1, 0 .. n] and root[1 .. n, 1 .. n] be new tables
2 for i = 1 to n + 1
3 e[i, i - 1] = q_i - 1
4 w[i, i - 1] = q_i - 1
5 for l = 1 to n
6 for i = 1 to n - l + 1
7 j = i + l - 1
8 e[i, j] = ∞
9 w[i, j] = w[i, j - 1] + p_j + q_j
10 for r = i to j
11 t = e[i, r - 1] + e[r + 1, j] + w[i, j]
12 if t < e[i, j]
13 e[i, j] = t
14 root[i, j] = r
15 return e and root
for迴圈利用上面兩個遞迴式來計算 e [ i , j ]和 w [ i , j ]，在第10～14行，嘗試每個下標 r 以確定使用哪個關鍵字 kr
來作為包含關鍵字 ki
，…， kj
的最優二叉查詢樹的根。無論何時發現乙個更好的關鍵字來作為根，這個for迴圈在 root [ i , j ]中儲存下標 r 的當前值。
下圖是根據上面二叉查詢樹的關鍵字分布，程式optimal-bst計算出的表 e [ i , j ]和 w [ i , j ]和 root [ i , j ]。
optimal-bst過程需要 θ ( n3
)。
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