人類世界的小數的表示形式
1、我們最習慣的小數表示形式是十進位制，形式為：
它的值為：
2、小數的二進位制表示法，形式為：
它的值為：
ieee浮點標準
在計算機系統中，因為有位元組的限制（c語言中float型別佔4位元組，double型別佔8位元組），小數的表示要複雜的多。ieee制定的浮點標準得到了所有的計算機的支援。
ieee浮點標準用如下形式表示乙個數：
符號（sign）s，1為負數，0為正數。數值0的符號位解釋做特殊情況處理；
尾數（significand 有效數）m是乙個小數，範圍為1~2-ε 或 0~1-ε （即 [1,2) 或 [0,1) ，詳情請看「浮點數的型別」部分）
階碼（exponent 指數）e的作用是對浮點數加權，這個權重是2的e次冪（可能是負數）
標準浮點格式（浮點有3個字段組成）有以下兩個型別：
32位的單精度：s、exp和frac欄位分別為1位、8位、23位
64位的雙精度：s、exp和frac欄位分別為1位、11位、52位
ieee浮點數的型別
依據階碼字段是否全為0、全為1分為以下三種：
1、規格化的值：exp欄位（階碼字段）的位模式不全為0，或不全為1.
階碼e=e-bias其中，e是exp欄位表示的無符號數，bias是偏置值2^(k-1)-1（單精度為127，雙精度為1023）。階碼e以此方式來表示成有符號數。因此得到e的範圍：單精度-126~127，雙精度-1022~1023
若欄位frac（尾數域）為
則定義尾數m=1+f，其中f=
。即尾數域僅僅表示小數點後面的部分，隱含小數點前面為1。
2、非規格化的值：當階碼字段全為0
階碼e=1-bias
尾數m=f，不包含隱含的開頭1
目的是表示數值0；表示非常接近與0.0的數
3、特殊值：階碼字段全為1
當尾數域全為0，表示無窮大或無窮小
當尾數域不全為0，結果值被稱為nan（not a number）
我們用正數範圍內的示例，來說明上面的三種型別的重大意義
e：假定階碼字段是乙個無符號整數表示的值
e：偏置之後的階碼值
2^e：階碼的權重數
f：尾碼字段描述的小數值
m:尾數值
v：小數值 v=2^e * m
ieee浮點表示的特點
1，最大非規格化數7/512 到 最小規格化數8/512的平滑轉變；
2，若將上圖中浮點數的位表示式解釋為無符號整數，它們就是按公升序排列的，就像它們表示的浮點數一樣。（ieee如此設計格式就是為了浮點數能夠使用整數排序函式來進行排序）
例如：
typedef unsigned char *type_pointer;輸出：00 00 80 3fvoid show_types(type_pointer start,int
len)
intmain()
分析：這個程式執行在windows 32位機上。window系統是小端法（數值的低位元組放在記憶體的前端）機器。
對於的二進位制表示為：00111111 10000000 00000000 00000000
float的第1位為符號位：0；第2至第9位為階碼位，供8位：e=127-127=0；後面的23位為尾碼，m=1+0=1。
所以，（-1）0*1*20
=1.0
浮點數的捨入方式
ieee浮點格式定義來四種不同的捨入方式。預設的捨入方式是：偶數捨入。
偶數捨入（round-to-even）：找最接近的數值，捨入到這個值；如果有兩個可能的值，將數字向上或向下捨入，使得到的結果的最低有效數字是偶數。
例如，將下面二進位制捨入到小數後一位：
11.001(2)->捨入：11.0(2) 11.0是最接近的數值
10.010(2)->捨入：10.0(2) 10.0 和 10.1都是最接近的值，但是10.0的最低位為偶數
10.110(2) ->捨入：11.0(2) 10.1 和 11.0 都是最接近的值，但是11.0的最低位為偶數
浮點運算
我們將x +f y定義為round(x + y)
，這是對實際運算的精確結果進行捨入後的結果。
浮點加法的特點：
1、浮點加法不具有結合性。（由於可能發生溢位，或者捨入而失去精度）
float f1=(3.14+10000000000)-10000000000輸出：3.139999 3.140000;
float f2=3.14+(10000000000-10000000000
); printf(
"%f %f
",f1,f2);
2、浮點加法滿足了單調性。
無符號和補碼加法不具有這個實數加法的屬性（因為溢位的原因）
必須非常小心地使用浮點運算，因為浮點運算只有有限的範圍和精度，而且不遵守普遍的算術屬性，比如結合性。
不能表示 vs 不能精確表示
在浮點數的表示範圍內，有多於 99.999…% 的數在計算機中是不能表示的。從數量級分析一下，32bit 浮點數的表示範圍是 10 的 38 次
方，而表示個數呢，是 10 的 10 次方。 能夠被表示的數只有 1/100000000…. （大概有30個零）。詳細內容請見「**之謎（五）- 浮點數（誰偷了你的精度？）」
計算機系統 浮點數
浮點數 1.二進位制小數 二進位制小數點右側的 位 表示2的分數冪次 負冪 竅門 小數部分寫成分數，分母為2 k，k為小數字，分子為小數部分二進位制的值。即 101 5 8 0.625 表示範圍 只能精確表示諸如x 2 k的數 其它的值只能近似表示 2.ieee浮點數 數字形式 符號位s 確定了這個...
計算機系統 整數與浮點數 詳解 一
小結整數分為無符號數和有符號數。整數在計算機上的運算是模運算，形成的數學結構稱為阿貝爾群，阿貝爾群具有以下特點 滿足運算的交換律和結合律公理 整數具有單位元 0 整數具有逆元 由於模運算導致阿貝爾群產生，從而導致了整數與浮點數在運算性質上的極大不同。整數支援加法和乘法的交換律 結合律 而浮點數因為精...
計算機系統第二章 浮點數
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