次小生成樹

在無向圖中，邊權和最小的滿足邊權和大於等於最小生成樹邊權和的生成樹

先求出最小生成樹，設其權值和為 \(sum\)

首先要知道，對於 \(u,v\) 兩點，他們在最小生成樹上的路徑中，權值最大值肯定要小於等於邊 \((u,v)\) 的權值（如果有的話）

因為如果他們路徑上的最大值比 \((u,v)\) 邊權大，那麼肯定就要去掉那條最大的邊，換成 \((u,v)\)，這樣做一樣能保證是一顆樹，且邊權和更小

那麼，可以依次對於每條邊 \((u,v,w)\)，找出 \((u,v)\) 在最小生成樹上的權值最大值，設其為 \(max_w\)

我們嘗試用 \((u,v,w)\) 來替換掉找出的那條邊權最大的邊

則可以用 \(sum-max_w+w\) 來更新答案

答案的最小值，也就是 \(\min(sum-max_w+w)\) 即為最終答案

這樣做一定能找到非嚴格次小生成樹之一

因為在所有非嚴格次小生成樹中（顯然可能有多個），一定會有乙個是由最小生成樹僅更換一條邊得來

由於上面說的，\(u,v\) 兩點，他們在最小生成樹上的路徑中，權值最大值肯定要小於等於邊 \((u,v)\) 的權值，所以可以大體的理解為 「更換的邊越多，權值和會變得越大」

當然這並不是嚴格的證明

對於如何找邊權最大的那條邊，在最小生成樹上用倍增維護即可

由於沒有題，**沒寫

在無向圖中，邊權和最小的滿足邊權和嚴格大於最小生成樹邊權和的生成樹

\(u,v\) 兩點，他們在最小生成樹上的路徑中，權值最大值肯定要小於等於邊 \((u,v)\) 的權值

這句話複製了第三遍了

是小於等於，所以如果最小生成樹中，被替換掉的那條邊，和替換他的那條邊，權值相等的話，求出的次小生成樹就和最小生成樹的權值和相等

因此不嚴格

所以，只要倍增時，維護乙個最小生成樹上路徑中的最大值，同時也維護次大值

如果最大值和 \((u,v)\) 的邊權相等，那麼就用次大值更新

這樣就保證了找出的次小生成樹嚴格大於最小生成樹

題目：luogu p4180 [bjwc2010]嚴格次小生成樹，loj#10133. 「一本通 4.4 例 4」次小生成樹

另外**中有個玄學問題，題目範圍事 \(n\le 10^5\)，但卡著比 \(10^5\) 多點並不能過，會在最後乙個點越界

要再開大一些，聽說是因為最後乙個點有自環，但是我把自環判掉，如果不開大陣列還是不能過

真 · 玄 學

所以就往大里開就好了

#include#include#include#include#include#include#include#define reg register

#define en std::puts("")
#define ll long long
inline int read()
while(c>='0'&&c<='9')
return y?x:-x;
}#define n 1000006
#define m 300006
int n,m;
struct datae[m];
int up[n],on_tree[n];
int fir[n],nex[2*n],to[2*n],w[2*n],tot;
int max[23][n],max2[23][n];
int deep[n],fa[23][n];
inline void add(int u,int v,int val)
inline int cmp(data aa,data aaa)
}inline int get_lca(int a,int b)
return fa[0][a];
}inline int get_max(int a,int b,int val)
return ret;
}int main()
ll sum=kruskal(),ans=2e18;
dfs(1,0);
pre();
for(reg int i=1;i<=m;i++)if(!on_tree[i])
std::printf("%lld",ans==2e18?-1:ans);
return 0;
}

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