HNOI2008 玩具裝箱TOY

p教授要去看奧運，但是他捨不下他的玩具，於是他決定把所有的玩具運到北京。他使用自己的壓縮器進行壓縮，其可以將任意物品變成一堆，再放到一種特殊的一維容器中。p教授有編號為1...n的n件玩具，第i件玩具經過壓縮後變成一維長度為ci.為了方便整理，p教授要求在乙個一維容器中的玩具編號是連續的。同時如果乙個一維容器中有多個玩具，那麼兩件玩具之間要加入乙個單位長度的填充物，形式地說如果將第i件玩具到第j個玩具放到乙個容器中，那麼容器的長度將為 x=j-i+sigma(ck) i<=k<=j 製作容器的費用與容器的長度有關，根據教授研究，如果容器長度為x,其製作費用為(x-l)^2.其中l是乙個常量。p教授不關心容器的數目，他可以製作出任意長度的容器，甚至超過l。但他希望費用最小.

輸入格式：

第一行輸入兩個整數n，l.接下來n行輸入ci.1<=n<=50000,1<=l,ci<=10^7

輸出格式：

輸出最小費用

輸入樣例#1：

5 4342

14輸出樣例#1：

1一句話題意:給出$n$個玩具,你可以將一些連續的玩具放到同乙個箱子內,這樣的費用是$x=j-i+\displaystyle_} c_k$,問要裝這$n$個玩具所需要的最小費用.

題解:dp方程應該很顯然,我們定義$f[i]$表示裝到第$i$個玩具所需要的最小費用.那麼則有$f[i]=min(f[j]+(sum[i]+i-sum[j]-j-l-1)^2$,其中$(j.按照慣例,我們還是先對這個式子進行化簡,為了簡便計算,這裡用\(a[i]$表示$sum[i]+i$, 用$b[i]$表示$sum[i]+i+l+1$,設$j$狀態為轉移到$i$狀態的最優情況,則有:$$f[i]=f[j]+(a[i]-b[i])^2$$

展開得:$$f[i]=f[j]+a[i]2-2*a[i]*b[j]+b[j]2$$

將所有只含有$i$的以及含有$i,j$兩項乘積的都放到左邊:$$2a[i]b[j]+f[i]-a[i]2=f[j]+b[j]2$$

可以將$b[j]$看做直線的自變數$x$,將$2*a[i]$看做直線的斜率$k$,將$f[j]+b[j]^2$看做直線的$y$,接下來一波斜率優化的套路就可以了.

#includeusing namespace std;
const int n=50000+5;
typedef long long lol;
lol n, l, h, t, q[n], f[n], c[n], s[n];
inline lol a(lol i)
inline lol b(lol i)
inline lol x(lol i)
inline lol y(lol i)
inline double slope(lol i, lol j)
int main()
cout << f[n] << endl;
return 0;
}

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