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攤還分析是用來評價程式中的乙個操作序列的平均代價，有時可能某個操作的代價特別高，但總體上來看也並非那麼糟糕，可以形象的理解為把高代價的操作「分攤」到其他操作上去了，要求的就是均勻分攤後的平均代價。
攤還分析有三種常用的技術；聚合分析，核算法，勢能法。
首先看個例子，現在有三種操作，push(s),pop(s),mutlipop(s,k),push(s)，統稱為棧操作。 push(s)每次只能壓乙個資料，所以規定操作的代價為1，pop(s)每次只能彈乙個資料，所以也規定操作的代價為1，而mutlipop(s,k)，內部實現的是乙個迴圈彈出，每執行一次的代價為k（k為棧的最大容量）。那麼現在問題來了，我想分析下執行n次棧操作最壞情況下的時間複雜度是多少？第一反應應該就是這樣想的，mutlipop(s,k)的代價最高，最高位k=n;
執行n次的最壞情況當然就是o(n2)啦，當實際上並非如此。
聚合分析要求我們要總體看問題，首先mutlipop(s,k)也是個彈棧的操作，當棧裡有資料的時候才執行有效，所以上述提到的o(n2)是不科學的，而push(s),pop(s)的代價是1，可想而知最壞的情況當然是前n-1次操作都是壓棧，而最後一次才執行mutlipop(s,n-1)，這樣的代價也只有2n-2,時間複雜度為o(n)，平均下來每個操作的攤還代價就為o(1)了。
核算法比較好理解，進行攤還分析時，攤還的代價有可能多於實際的代價，也有可能少於實際的代價，多於實際代價的差額會存進乙個資料結構中，稱為信用，而當遇到少於實際代價的時候就可以用這些信用來填充了。注意這些什麼演算法提供的只是思路，求出一系列操作代價的上界的思路，具體的做法還是要自己思考的。
同樣是壓棧的例子，我們可以賦給push(s)操作的攤還代價是2，相當於自己使用了1，而壓進去的必定會彈出，剩下的1就作為彈出時的費用，這樣pop(s)和mutlipop(s,k)的攤還代價就為0，這樣做有什麼意義？試著現在思考下題目中的問題（標紅色的部分），那麼可想最糟糕的情況無非就是所有操作都是push(s)，代價為2n，並不像聚合代價那樣需要考慮其他兩個操作（攤還代價為0），時間複雜度為o(n)。
勢能法
勢能法其實核算法有點相似，也有預付差額的，但不叫信用，而叫勢能，勢能法是從整體上看的，不像核算法那樣具體到某個操作，而是整體的勢能。
勢能法定義了一條公式；
ci(攤還)=ci(實際)+f(di)-f(di-1) （1）
累加可得總攤還代價的公式為;
ci(總攤還)= ci(總實際)+ f(di)-f(d0) （2）
其中ci
為每步操作的代價，f(di)表示執行了第i個操作後的勢能，那個這個公式就可以理解為 第i步操作的攤還代價等於第i步操作的實際代價加上從第i-1步操作到第i步操作的勢能變化，理解這個後，再來看棧操作的例子。
同樣push(s)、pop(s)的代價為1, mutlipop(s,k)的代價為k,我們規定入棧乙個元素勢能加1，彈出乙個元素勢能減1，那麼f(di)永遠為非負,而f(d0)等於0，再根據上面的公式（2）即可知道這個又這裡就可以確定總攤還代價是總實際代價的上界，所以現在要求的就是總攤還代價。
根據公式（1）可以得到push(s)的攤還代價為2，pop(s)的攤還代價為0，mutlipop(s,k)的攤還代價也為0 （因為彈棧勢能要減，剛好和代價抵消，也可以看做勢能都用來支付代價了，所以下降了），那麼又回到了核算法了，可得時間複雜度為o(n)。
書上還有個例子是關於表擴張的，雖然能看懂，但還是理解的不太透徹（不明白他為什麼能這麼定義），在這裡跟大家分享，也請大家指點~
例子：表擴張
是這樣的，有個程式，假設這個表只允許插入，當插入資料發現表滿了，會自動新建乙個表大小為原來的兩倍，然後把已有的資料複製過去，再插入，在問題就是要求這個程式的代價，準確來說是攤還代價。
這裡只寫兩個方法吧，寫多我自己都暈了..首先是聚合分析
我們將插入一條資料的代價看為1，假設一開始表的大小為1，沒有資料，可想除了表資料滿的情況，其他情況的代價都為1，而表滿時的大小都為2的冪。當表滿時插入資料的代價就是原有的資料複製的代價k(假設有k條資料)加上新插入的1條,又此可得總攤還代價為
c(總攤還代價)<=n+20 +21+..+2lgn
其中lgn表示表共擴張了lgn次，可以算出)，所以攤還代價至多為3n/n=3
下面看看核算法，通過核算法能很好的理解為什麼攤還付代價為3.
書上是這樣分析的，假設現在表中有m/2條資料，表大小為m,而且沒有信用，那麼插一條資料要付出3的代價，為什麼？看，1是為了插入時消耗了，1是儲存起來作為自己的信用，還有1呢，就是捐贈跟原本就在表中但沒有信用的資料，這樣，但資料插入了m/2條，一共有m條資料時,這也剛好是表要擴張的時候，表中所有的資料都有1的信用，就可以用來支付擴充套件表時複製到新錶的代價，從而表的大小變成2m，資料剛好又沒了信用而且剛好是表大小的一半，這又到回了最初，就好像遞迴一樣，也就是說1條資料支援3代價就可以保證它永遠的擴充套件…
攤還分析 1 演算法導論 23
攤還分析 amortized analysis 是一種分析乙個操作序列中所執行的所有操作的平均時間分析方法。與一般的平均分析方法不同的是，它不涉及概率的分析，可以保證最壞情況下每個操作的平均效能。下面介紹癱瘓分析中的最常用的三種技術。先來看對棧進行操作的例子。通常，棧能夠進行push s,x 與po...
演算法導論第17章 攤還分析
在攤還分析中，我們求資料結構的乙個操作序列中所執行的所有操作的平均時間，來評價操作的代價，從而說明乙個操作的平均代價是很低的，即使序列中某一單一操作的代價很高，不涉及改了，但可以保證最壞情況下每個操作的平均時間。攤還分析中主要的三種方法 1 聚合分析 2 核算法 即記賬法 3 勢能法 1 聚合分析 ...
演算法導論學習筆記之攤還分析
在攤還分析中，我們求資料結構的乙個操作序列中所執行的所有操作的平均時間，來評價操作的代價。這樣，就可以說明即使乙個序列的某個操作很複雜，平均代價還是很低的。攤還分析中最常用三種技術 聚合分析，這種方法用來確定乙個n個操作的序列的總代價的上界t n 因而每個操作的代價是t n n，將平均代價作為每個操...