習題11.1-3 i為2的冪時代價為i，其餘代價為1，聚合分析(1+2+1+4+1+1+1+8.....)/n，若n趨近無窮大，極限為3。每次操作攤還代價為3.
習題11.2-2 核算法解上題。在i/2+1到第i-1次操作之間，每次操作實際代價1，信用2，經過i/2次之後，累積信用為i，第i個操作一次性付出代價i，消耗信用為i-1，若n足夠大，可知每個操作的攤還代價為3。
習題11.3-2 勢能法解上題。定義勢函式φ(di)=2i，從第i/2個操作到第i個操作，每次實際代價1，勢總共增加了i，第i個操作付出代價i，降低勢到了1。當n足夠大，每次操作攤還代價為3。
習題11.3-3 n個元素的二叉最小堆的攤還分析。φ(di)= σ lg(i)。則第i個元素的插入操作的攤還代價為o(lg(i))，第i個元素的刪除操作攤還代價為o(1).
習題11.3-6 兩個普通的棧實現乙個佇列，出入操作攤還代價為o(1)。通常用兩個棧實現乙個佇列的方法是將棧裡的元素來回倒，但是全部元素從乙個棧倒入另乙個棧的代價是o(n)，所以我們不能頻繁的來回倒。應該是在必要的時候才倒。stacka, stackb分別是兩個棧，enqueue操作實際放在stacka, dequeue操作放在stackb，dequeue時若stackb為空，則將stacka元素倒入stackb。定義勢能φ(di)=a.length，每個enqueue操作實際代價1，增加勢能1，當b清空時，a的元素全部倒入b，勢能為0.所以enqueue和dequeue的攤還代價都為o(1)。
enqueue(x)
dequeue()
do while(!a.empty() )
} return b.pop();
}
習題11.3-7 計數排序。勢函式為φ(t)=c*s.size，插入時實際代價為o(1)，勢增長c，刪除一半的元素時，勢減少一半，代價為o(|s| )。全部刪除後，勢為0。 所以插入、刪除的攤還代價為o(1)，而輸出所有元素的代價為o(|s|)。
insert(x)
delete_half(s)
i--;
} update largest_element;
}
習題17.4-1 動態開位址雜湊表的攤還分析。勢函式φ(d) = (1+1/a)*t.n-t.size。當n=size*a時，勢為t.size，此時將**擴張一倍，舊表複製到新錶，消耗代價為t.n，勢回到0.所以，每次插入操作的攤還代價是o(1)。
思考題17-2 search時也是按照2分，需要有乙個將整個陣列上的序數m對映到陣列ai中第j個元素的方法。根據n的二進位制，從ak-1第1個元素開始查詢，向前查詢則跳到ak-2的第乙個元素，向後查詢則是ak-1中間位置的元素。最壞執行時間仍然是o(lg n )。插入t時，找到應該插入的ai的j位置，但是有可能從ai開始向前乙個子陣列ai-1移動乙個數字，如果子陣列都用鍊錶實現，包括移動元素與鍊錶的合併與分拆，最多需要o(lg n )。刪除也是一樣，找到ai的位置j，刪除，如果需要則鍊錶合併與分拆，最壞情況為o(lg n )。
思考題17-3 定義兩個方法，left_element()，right_element()，分別返回x結點左、右側數值最接近x的元素。當左邊需要向右調整時，將x.left_element()移動到x的位置，x移動到x.right_element()的右側。然後對移動後的子樹從底向上調整平衡。最壞的效能是o(x.size)，因為移動一次就將x的左右子樹調節一次，而對子樹的遞迴操作最壞情況下會導致對所有結點都調整一次。
勢函式φ(t)=c σ | x.left.size-x.right.size |，1/2平衡樹所有的δx都為0。m個結點加入a為引數的平衡樹，重建成本為o(t.size)，勢至少是c*( a*size-(1-a)*size )，則有c*(2a-1)size > n* size，c > 1 / (2a-1)才能使插入的攤還時間為o(1)。
插入成本lg n， 不需調整的情況下插入的路徑上的根結點δx變化+/-1，勢增量o(lg n )，而需要調整的情況下，勢增量o(lg n )+ o(size )減去調整開銷o(size )。則攤還成本為o(lg n )。刪除操作也是同理。
演算法導論學習筆記之攤還分析
在攤還分析中，我們求資料結構的乙個操作序列中所執行的所有操作的平均時間，來評價操作的代價。這樣，就可以說明即使乙個序列的某個操作很複雜，平均代價還是很低的。攤還分析中最常用三種技術 聚合分析，這種方法用來確定乙個n個操作的序列的總代價的上界t n 因而每個操作的代價是t n n，將平均代價作為每個操...
攤還分析 1 演算法導論 23
攤還分析 amortized analysis 是一種分析乙個操作序列中所執行的所有操作的平均時間分析方法。與一般的平均分析方法不同的是，它不涉及概率的分析，可以保證最壞情況下每個操作的平均效能。下面介紹癱瘓分析中的最常用的三種技術。先來看對棧進行操作的例子。通常，棧能夠進行push s,x 與po...
演算法導論第17章 攤還分析
在攤還分析中，我們求資料結構的乙個操作序列中所執行的所有操作的平均時間，來評價操作的代價，從而說明乙個操作的平均代價是很低的，即使序列中某一單一操作的代價很高，不涉及改了，但可以保證最壞情況下每個操作的平均時間。攤還分析中主要的三種方法 1 聚合分析 2 核算法 即記賬法 3 勢能法 1 聚合分析 ...