攤還分析(amortized analysis)是一種分析乙個操作序列中所執行的所有操作的平均時間分析方法。與一般的平均分析方法不同的是，它不涉及概率的分析，可以保證最壞情況下每個操作的平均效能。
下面介紹癱瘓分析中的最常用的三種技術。
先來看對棧進行操作的例子。
通常，棧能夠進行push(s, x)與pop(s)操作，其時間複雜度均為o(1)。現在定義乙個新的操作multipop(s, k)，它刪除棧s棧頂的k個元素（若不足k個，則全部彈出為止）。下面是操作multipop(s, k)的偽**：
while not stack-empty(s) and k > 0
pop(s)
k = k - 1
下面我們分析乙個由n個push、pop和multipop組成的操作在乙個空棧上的執**況。
簡單地，根據上面對multipop操作時間代價（min(s, k)）的分析，我們很快得出，乙個multipop操作的最壞時間是o(n)，因為棧的大小是n，因此n個操作的序列的最壞時間代價是\(o(n^2)\)。雖然這個結論是正確的，但是它卻不是乙個確界。
從另乙個角度考慮，pop操作的次數至多與push操作的次數相等，而push操作的次數至多為n次。因此乙個由n個push、pop和multipop組成的操作的時間代價最多為o(n)，分攤到每乙個操作的時間代價就為o(n) / n = o(1)。
我們再來看二進位制計數器遞增的例子。
二進位制計數器是用乙個陣列來表示乙個數，即陣列每乙個槽充當二進位制數的乙個數字，陣列的第乙個槽為最低位。其遞增演算法的思路是：首先將最低位記為當前位。判斷當前位是否為1，若是，則將該位置為0，當前位右移一位（進製操作）；不斷重複以上過程直至當前位的值不為1或者當前位「溢位」。最後，如果沒有「溢位」，就將當前位的值置為1。
下面是python實現**：
def increment(num):
i = 0
while i < len(num) and num[i] == 1:
num[i] = 0
i += 1
if i < len(num):
num[i] = 1
和前面一樣，事實上，這個上界是不確切的。因為increment操作不會在連續執行n次時，每次都是最壞情況。事實上，我們可以確切地計算出其時間代價：
\[ \sum_^⌊\frac⌋ < n\sum_^ \frac< 2 n
\]因此，對於乙個初值為0的計數器，執行乙個n個increment操作的序列的最壞時間代價是o(n)，分攤到每乙個操作的時間代價為o(1)。
在用核算法(accounting method)進行攤還分析時，我們對不同操作賦予不同的費用，它可能多於或少於其實際代價，我們稱其為攤還代價。
當乙個操作的攤還代價超出其實際代價時，我們將差額存入資料結構的特定物件，存入的差額稱為信用。對於後續操作中攤還代價小於其實際代價的情況，信用可以用來支付差額。
回到棧操作的例子，其中各操作的實際代價為：
操作實際代價
push
1pop
1multipop
min(k, s)
我們為這些操作賦予如下的攤還代價：
操作攤還代價
push
2pop
0multipop
0在每次進行push操作時，我們花費2個單位的代價，1個單位用來支付其本身的實際代價，另1個單位可作為信用儲存；當對棧中的任何乙個元素進行pop（multipop也屬於pop）操作時，可用該元素在push時儲存的信用來支付差額。這樣就保證了在任何時刻的信用值是非負的。
因此，總實際代價的上界為總攤還代價，即為o(n)。
這是因為\(\sum\limits_^c'_i \geq \sum\limits_^c_i\)在任何時刻都成立，其中\(c_i\)為第i個操作的真實代價，\(c_i'\)為其攤還代價。同理，我們也可以用核算法來分析上述二進位制計數器遞增的例子。
因為increment操作的時間效率與當前陣列中為1的位數成正比，因此我們將翻轉的位數作為操作的代價。
對於一次置位操作（將該位值置為1的操作），我們設其攤還代價為2。在進行一次置位操作時，我們花1個單位的代價來支付其本身的實際代價，剩餘1單位作為信用，用來支付將來可能的復位操作（將該位值置為0的操作）的代價。這樣就保證了在任何時刻的信用值是非負的。這樣就保證了在任何時刻的信用值是非負的。
因此，總實際代價的上界為總攤還代價。而在一次increment操作中，只進行一次置位操作，因此總攤還代價o(n)。
與核算法不同，勢能分析並不是將預付代價表示為資料結構中特定物件的信用，而是表示為「勢能」，簡稱「勢」。釋放勢能即可用來支付未來操作代價。我們將勢能與整個資料結構而不是特定物件相關聯。
假設我們對乙個初始資料結構\(d_0\)執行n個操作。對每乙個\(i=1, 2,...,n\)，用\(c_i\)表示第i個操作的實際代價，\(d_i\)表示在資料結構\(d_\)上執行第i個操作得到的結果資料結構。勢函式\(\theta\)將每個資料結構\(d_i\)對映到乙個實數\(\theta(d_i)\)，此值即為關聯到資料結構\(d_i\)的勢；並且定義第i個操作的攤還代價\(c_i'\)為：
\[c_i' = c_i + \theta(d_i) - \theta(d_)
\]即每個操作的攤還代價為其實際代價與其引起的勢能變化的和。
於是，\(n\)個操作的總代價為：
\[\sum_^n c_i' = \sum_^n(c_i + \theta(d_i) - \theta(d_)) = \sum_^nc_i + \theta(d_n) - \theta(d_0)
\]做乙個移項，變形得：
\[\sum_^n c_i' - \sum_^n c_i = \theta(d_n) - \theta(d_0)
\]如果我們能定義乙個勢函式\(\theta\)，使得\(\theta(d_n) \geq \theta(d_0)\)，則總攤還代價\(\sum_\limits^n c_i'\)給出了總實際代價\(\sum_\limits^n c_i\)的乙個上界。
由於我們不是總能知道要執行多少個操作，因此無法直接保證\(\theta(d_n) \geq \theta(d_0)\)。但是如果我們將勢函式的選擇條件變得嚴格，使得\(\theta(d_i) \geq \theta(d_0)\)對於所有的i都成立，那麼就可以保證。
我們再次回到棧操作的例子。這次我們採用勢能法來分析該問題。
對於勢函式的選取，我們選擇將棧對映到其內部元素個數的函式，即\(\theta(d_i)表示第\)
\(i\)次操作棧時，棧中元素的個數。對於初始的空棧，有\(\theta(d_0) = 0\)；並且由於棧中元素不可能為負，因此\(\theta(d_i) \geq 0 = \theta(d_0)\)。
因此，以上\(\theta\)函式定義的n個操作的總攤還代價為總實際代價的乙個上界。
有了以上\(\theta\)函式的定義，我們便可以計算棧上各種操作的攤還代價。
對於push操作，其實際代價為1，其引起的勢能變化也為1，因此其攤還代價為2。
對於pop操作，同理可得其攤還代價為0。
對於一次multipop操作，它會將\(k' = \min(k, s)\)個物件彈出，即其實際代價為\(k'\)；引起的勢差變化為\(-k\)，因此其攤還代價也為0。
綜上，每個操作的攤還代價都為o(1)，n個操作的總攤還代價為\(o(n)\)，總實際代價最壞為\(o(n)\)。
同樣我們再用勢能法來分析二進位制計數器遞增的例子。
與上面相似，我們將\(\theta(d_i)\)表示為二進位制計數器中，位上是1的位數。顯然\(\theta(d_i) \geq \theta(d_0) = 0\)。因此，總攤還代價為總實際代價的乙個上界。
再分析總攤還代價。對於一次increment操作，其實際代價為\(k'\)次復位操作和1次置位操作，為\(k'+1\)；其引起的勢差變化為\(-k'+1\)，因此攤還代價為\((k'+1) + (-k' + 1) = 2\)，\(n\)個操作的總攤還代價為\(o(n)\)，因此總實際代價最壞為\(o(n)\)。
演算法導論第17章 攤還分析
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演算法導論學習筆記之攤還分析
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《演算法導論》筆記（11） 攤還分析 部分習題
習題11.1 3 i為2的冪時代價為i，其餘代價為1，聚合分析 1 2 1 4 1 1 1 8.n，若n趨近無窮大，極限為3。每次操作攤還代價為3.習題11.2 2 核算法解上題。在i 2 1到第i 1次操作之間，每次操作實際代價1，信用2，經過i 2次之後，累積信用為i，第i個操作一次性付出代價i...