darboux 中值定理是反映導函式介值性的乙個定理.陳述如下:
(darboux 中值定理)若函式 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 內可導,$\alpha,\beta\in (a,b)$,且 $\alpha<\beta$,且 $f'(\alpha)為了證明達布中值定理,我們先考慮它的特殊情形.為此先證明如下引理.由於 $f$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上連續,因此 $f$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上有最大值.設最大值 為 $f(\xi_1)$,其中 $\xi_1\in [\alpha,\beta]$.當 $\xi_1\in (\alpha,\beta)$ 時，顯然 $f'(\xi_1)=0$. 當 $\xi_1=\alpha$ 或 $\xi_1=\beta$ 時,根據對稱性,我們不妨假設 $\xi_1=\alpha$.則 $f(\alpha)$ 是 $f$ 在 $[\alpha,\beta]$ 上的最大值.根據連續函式的介值性,必定存在 $\xi_2\in [\alpha,\beta)$,使得 $f(\xi_2)=f(\beta)$.因此根據 rolle 定理,必定存在 $\xi_3\in (\xi_2,\beta)$,使得 $f'(\xi_3)=0$. 綜上所述,引理得證.當 $f'(\alpha)<0,f'(\beta)\geq 0$ 時,必定存在 $\xi\in (\alpha,\beta)$,使得 $f'(\xi)=0$.
證了這個引理後,下面開始證明 darboux 中值定理.
令 \begin g(x)=f(x)-kx \end 可得 $g'(\alpha)<0$,$g'(\beta)> 0$,則根據引理,可得存在 $\xi\in (\alpha,\beta)$,使得 \begin \label g'(\xi)=0 \end 即 $f'(\xi)=k$.
羅爾定理 微分中值定理 廣義微分中值定理
如果乙個處處可導的函式的影象和一條水平直線交於不同的兩點 如圖所示 那麼在這兩點間的函式影象上至少存在一點處的切線平行於該水平直線 顯然也平行於x軸 這種現象可以更嚴謹地表述為羅爾定理 rolle s theorem 1 如果函式f x 在 a,b 上連續，a,b 上可導，並且f a f b 那麼至...
對中值定理的認識
參考 中值定理包含羅爾中值定理 拉格朗日中值定理和柯西中值定理。很多定理都需要以此為基礎進行證明。首先看羅爾中值定理，舉乙個簡單的例子，乙個人從a處跑到b處。他的速度肯定是從0加速又逐漸減速到0的。將它的速度表示成乙個v t函式，應該呈現拱形。對於這樣的乙個函式，中間肯定存在著v 0，即加速度為0的...
達布中值定理（導數中間值定理）
定理原文 達布中值定理 darboux 的數學表達形式 設y f x 在 a,b 區間中 可導.又設 a,b 包含於 a,b 且f a 達布中值定理 darboux 的其它表達形式 若函式f x 在 a,b 上可導,則f x 在 a,b 上可取f a 和f b 之間任何值.證明 方法1 已知f a ...