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設函式 $f(x)$ 在點 $x_$ 的某鄰域 $u(x_)$ 內有定義，並且在 $x_$ 處可導，如果對任意 $x \in u(x_)$ 有 $f(x) \leq f(x_)$ （或 $f(x) \geq f(x_)$ ），則 $f』(x_)=0$。
$$不妨假設\forall x\in u(x_),f(x) \leq f(x_)$$
$$當x \to x_^,\frac)}} \leq 0$$
$$由保號性知：f』_(x_) = \lim_^} \frac)}} \leq 0$$
$$當x \to x_^,\frac)}} \geq 0$$
$$由保號性知：f』_(x_) = \lim_^} \frac)}} \geq 0$$
$$又\because f』(x_) \exists ，故f』_(x_) = f』_(x_)$$
$$又f』_(x_)\leq 0 , f』_(x_) \geq 0$$
$$從而f』(x_) = f』_(x_) = f』_(x_) = 0$$
可導函式的極值點一定是駐點
極值點：$$\forall x \in \bigcup^(x_)$$端點一定不是極值點如果，當$f(x) < f(x_)$，稱$f(x)$ 在 $x=x_$ 處取得極大值， $x_$ 為極大值點
反之，當$f(x) > f(x_)$，稱$f(x)$ 在 $x=x_$ 處取得極小值， $x_$ 為極小值點
駐點：$f』(x)=0$的點。
極值點不一定是連續點
區間內部的最值點一定是極值點
區間內部唯一的極值點也一定是最值點
證某函式一階導存在「零點」，已知不等式（內部找極值）
設函式$f(x)$ 滿足：（1）在閉區間 $[a,b]$ 上連續；（2）在開區間 $(a,b)$ 內可導；（3） $f(a) = f(b)$，則存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $f』(\xi)=0$。
$$\because f(x) 在 [a,b]上連續$$
$$故f(x)在[a,b]上一定既有最大值m，也有最小值m$$
$$若m=m，此時f(x) = c = m$$
$$從而f』(x) = 0，當 \xi 取值(a,b)內任何一點時，f』(\xi)=0$$
$$若m \not= m$$
$$又f(a)=f(b)，則\exists \xi \in (a,b)，使得f(\xi) = m或f(\xi) = m$$
$$由費馬引理知 f』(\xi) = 0$$
$$綜上所述， \exists \xi \in (a,b),使得f』(\xi)=0$$
要證$f^(\xi)=0$
要證$f(\xi,f(\xi),f』(\xi))$
如何找原函式
如何找點
設函式$f(x)$ 滿足：（1）在閉區間 $[a, b]$ 上連續；（2）在開區間 $(a, b)$ 內可導；
則存在 $\xi \in (a,b)$ ，使得 $\frac = f』(\xi)$ 或 $f(b)-f(a)=f』(\xi)(b-a)$ ， $(a< \xi有時也寫成 $f(x_ + \big********up x)-f(x_) = f』(x_ + \theta \big********up x) \bullet \big********up x, (x < \theta < 1)$ ，這裡 $x_ \in (a,b)$ ， $\big********up x$ 可正也可負。
注：拉格朗日中值定理為羅爾定理的推廣，當$f(a) = f(b)$ 時就是羅爾定理。$$\frac - f』(x) = 0$$
$$(\frac \bullet x - f(x))』 = 0$$
$$令f(x) = \frac \bullet (x-a)-f(x)$$
$$f(a) = -f(a) = f(b) = f(b) - f(a) - f(b) = -f(a)$$
$$又f(x)在[a, b]上連續，在(a, b) 上可導，由羅爾定理知：$$
$$\exists \xi \in (a, b) , 使得f』(\xi) = 0 , 即\frac = f』(\xi)$$
求極限綜合題證明
$$f() - f()$$
$$構造同乙個函式在不同點的函式值之差$$
設函式$f(x)$ 和 $g(x)$ 滿足： （1）在閉區間$[a, b]$上皆連續；（2）在開區間 $(a, b)$ 內皆可導；且 $g』(x) \not= 0 $ ，則存在 $\xi \in (a, b)$ ，使得 $\frac = \frac,(a < \xi < b)$。
靈魂：兩個函式，乙個中值設 $f(x)$ 在 $x_$ 處有 $n$ 階導數，則存在 $x_$ 的乙個領域，對於該鄰域內的任一 $x$ ，都有
$$f(x) = f(x_) + \frac)}(x-x_) + \frac)}(x-x_)^ + ... + \frac(x_)}(x-x_)^ + r_(x)(x \to x_) ，$$
其中$r_(x) = o((x-x_)^)(x \to x_)$成為佩亞諾餘項。
前面求極限的方法中用泰勒公式就是這種情形，根據不同情形取適當的$n$，所以對常用的初等函式如 $e^ , sinx, cosx, ln(1+x)$ 和 $(1+x)^$（ $\alpha$ 為實常數）等的 $n$ 階泰勒公式都要熟記。
設 $f(x)$ 在包含 $x_$ 的區間 $(a, b)$ 內有直到 $n+1$ 階的導數，則對 $\forall x \in (a, b)$ ， 有
$$f(x) = f(x_) + \frac)}(x-x_) + \frac)}(x-x_)^ + ... + \frac(x_)}(x-x_)^ + r_(x) ，$$
其中$r_(x) = \frac(\xi)}(x-x)^$ （ $\xi$ 在 $x_$ 與 $x$ 之間）稱為拉格朗日餘項。帶拉格朗日餘項的 $n$ 階泰勒公式常用於證明題中。
佩亞諾餘項和拉格朗日餘項的區別：注：當 $x_ = 0$ 時， $n$ 階泰勒公式也稱為 $n$ 階麥克勞林公式。1.餘項形式不同
2.適用的範圍不同
3.高階導，階數要求不同
如果 $\lim_r_(x) = 0$，那麼泰勒公式就轉化為泰勒級數，這在後面無窮級數中再討論。
需要記住以下五個泰勒展開式：
$$ e^ = 1+ x + \frac} + \frac} + ... + \frac} + o(x^) ; $$
$$ sinx = x - \frac} + \frac} +... + \fracx^} + o(x^) ; $$
$$cosx = 1 - \frac} + \frac} - ... + \fracx^} + o(x^) ; $$
$$ln(1+x) = x- \frac} + \frac} - ... + \fracx^} + o(x^) ; $$
$$ (1+x)^ = 1+ ax + \fracx^ + ... + \fracx^ + o(x^) $$
$$ arctanx = x - \fracx^ + \fracx^ -...+ \frac}x^ + o(x^) $$
證明（拉格朗日餘項）
與高階導數有關的證明題taylor什麼時候用？
除了$ 「e^ , sinx, coxs, ln(1+x), (1+x)^ 」 $外，剩下全是冪函式，此時泰勒優於洛必達。
題型一：求極限
須掌握
題型二：求$f^(0)$
步驟將$f(x)$在$x=0$處的泰勒公式寫一遍
把題**現的常用泰勒公式寫一遍
讓同類項前的係數相同。
同類項：所含字母相同，字母指數也相同的兩個單項式。
達布中值定理（導數中間值定理）
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讓臨近的畫素按照大小排列，取排序畫素集中位於中間位置的值作為中值濾波後的畫素值。dst cv2.medianblur src,ksize src 需要處理的影象 ksize 核大小，是乙個比 1 大的奇數，不是元組 author mumengsunny filename 中值濾波 import cv...
OpenCV 23 中值模糊
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