n 階常微分方程通解中常數獨立的意義

丁同仁,李承治編《常微分方程教程》第二版的定義1.3給出了 $ n$ 階常微分方 程

$ )=0 \ \ \ \ \ (1)}$

的通解的定義:

definition 1 (常微分方程的通解)如果 $ y=\phi(x,c_1,c_2,\cdots,c_n)$ 是方程 1的解,且常 數 $ c_1,c_2,\cdots,c_n$ 是獨立的,那麼 稱$ y=\phi(x,c_1,c_2,\cdots,c_n)$ 是方程 1 的通 解.所謂$ c_1,c_2,\cdots,c_n$ 獨立,其含義是 jacobi 行列式

$ \frac&\frac&\cdots&\frac\\ \frac&\frac&\cdots&\frac\\ \vdots&\vdots& &\vdots\\ \frac}&\frac}&\cdots&\frac}\\ \end\neq 0. \ \ \ \ \ (2)}$

其中 $ \phi=\phi(x,c_1,\cdots,c_n),\\ \phi^=\phi^(x,c_1,\cdots,c_n),\\ \phi^=\phi^(x,c_1,\cdots,c_n),\\ \vdots\\ \phi^=\phi^(x,c_1,\cdots,c_n). \end \ \ \ \ \ (3)}$

對於微分方程 (1),我們給出初值條件:

$ (x_0)=y_, }$

把這些初值條件代入 (3) 時,得到

$ y_0=\phi(x_0,c_1,\cdots,c_n),\\ y_1=\phi^(x_0,c_1,\cdots,c_n),\\ \vdots\\ y_=\phi^(x_0,c_1,\cdots,c_n) \end \ \ \ \ \ (4)}$

由於行列式 (2) 不為0,因此根據多元反函式定理,可得方程組 (4) 中的$ c_1,\cdots,c_n$ 能被解出,也即,$ c_1,\cdots,c_n$ 能分別被表達成 $ y_0,\cdots,y_,x_0$ 的關係式.這就是常數 $ c_1,\cdots,c_n$ 獨立的意義.

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