我們已經知道,隱函式存在定理敘述如下:
theorem 1 (隱函式存在定理)設 $ f:\mathbf^\rightarrow\mathbf^m$ 為連續可微函式, $ \mathbf^$ 中的元素寫 成$ \mathbf=(x_1,\cdots,x_n,y_1,\cdots,y_m)$ 的形式.對於任意 一 點$ (\mathbf) = (a_,\cdots, a_, b_,\cdots,b_m)$ 使 得$ f(\mathbf) = 0$,隱函式存在定理給出了乙個充分 條件,用來判斷 能否在$ (\mathbf)$附近定義一 個$ \mathbf$關於$ \mathbf$的函式$ g$,使得只 要$ f(\mathbf)=0$,就有 $ \mathbf=g(\mathbf)$.嚴格地說,就是存 在$ \mathbf$和$ \mathbf$的鄰域$ u$ 和 $ v$,使得$ g$是 從 $ u$ 到 $ v$ 的函式,並 且$ g$的函式影象滿足當矩陣 $ y$ 可逆時,我們建立了 $ \mathbf$ 和 $ \mathbf$ 的函式關係 $ \mathbf=g(\mathbf)$,下面我們來證明函式 $ g$ 是連續可微的.也就是 證明函式 $ g$ 的雅可比矩陣$ ,g(\mathbf))\}=\,\mathbf) | f(\mathbf,\mathbf) =0 \}\cap(u\times v).}$
要使的這樣的函式$ g$存在,函式$ f$ 的雅可比矩陣一定要滿足一定的性質.對於 給 定的一點 $ (a,b)$,$ f$ 的雅可比矩陣寫做
$ ,\mathbf)=\left[\begin\frac(\mathbf,\mathbf) & \cdots&\frac(\mathbf,\mathbf)\\ \vdots&\ddots&\vdots\\ \frac(\mathbf,\mathbf)&\cdots&\frac(\mathbf,\mathbf) \end\right|\left. \begin \frac(\mathbf,\mathbf) & \cdots & \frac(\mathbf,\mathbf)\\ \vdots & \ddots & \vdots\\ \frac(\mathbf,\mathbf) & \cdots & \frac(\mathbf,\mathbf)\\ \end\right]=[x|y]}$
隱函式存在定理說明了:如果 $ y$ 是乙個可逆的矩陣,那麼滿足前面性質的$ u,v$ 和函式 $ g$ 就會存在.
$ \frac&\cdots&\frac\\ \vdots&\cdots&\vdots\\ \frac&\cdots&\frac\\ \end }$
存在,並且各項關於 $ \mathbf$ 連續.為此,我們先來求 $ z=f(\mathbf,g(\mathbf))$ 關於變數 $ \mathbf$ 的導數.根據復合函式的求導法則,易得結果為 \begin
\frac}&=\begin
\frac+\sum_^m \frac\frac&\cdots \frac+\sum_^\frac}\frac&\cdots&\frac+\sum_^m
\frac\frac
\end\\&=\begin
\frac&\cdots&\frac&\cdots&\frac\end+\begin
\sum_^m \frac\frac&\cdots&\sum_^\frac}\frac&\cdots&\sum_^m
\frac\frac
\end\\&=\begin
\frac&\cdots&\frac&\cdots&\frac
\end+\begin
\frac&\cdots&\frac
\end\begin
\frac&\cdots&\frac\\
\vdots&\cdots&\vdots\\
\frac&\cdots&\frac\\
\end.
\end
由於矩陣
$ \frac&\cdots&\frac \end }$
可逆,因此可得
$ \begin \frac&\cdots&\frac\\ \vdots&\cdots&\vdots\\ \frac&\cdots&\frac\\ \end=\begin \frac&\cdots&\frac \end^ \left[\frac}-\begin \frac&\cdots&\frac&\cdots&\frac \end\right]. \end \ \ \ \ \ (1)}$
因此 $ g$ 的雅可比矩陣存在,且由式 1 順便推出了 $ g$ 的雅可 比矩陣關於 $ \mathbf$ 的連續性.順便還推出了 $ g$ 的雅可比矩陣的公式! 這就是隱函式定理!
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