設$a>0$為常數，則級數$\sum_^\fracn^}+a^n}$的收斂性如何？
解：由$$u_=\frac}+a^n}=\frac)^n^} \sim \frac ,n \to \infty$$
知該級數非絕對收斂。
設$f(x)=x+(\frac)x^$，則
$$f'(x)=1+(\frac)^x^(\ln \frac-1+\frac)$$
極限$$\lim_f'(x)=1+\lim_(\frac)^x^\ln \frac=1-\lim_(\frac)^x^\ln x=1$$
所以存在$m>0$,當$x>m$時$f(x)$嚴格單調遞增，從而$u_$單調遞減趨於零，由leibnitz判別法知級數(條件)收斂。
注意有如下極限成立：
(i). $$\lim_(\frac)^x^=0,a>0$$
(ii). $$\lim_(\frac)^x^=0,a>0,\beta >0$$
(iii). $$\lim_(\frac)^x^\ln x=0,a>0$$
證明：此處用夾逼準則, $\ln x < x $.
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