定義1：設級數, 如果部分和的極限
存在，稱該級數收斂，否則稱該級數發散。
註記1：設級數，由該級數誘導出正項級數。對於這兩個級數收斂與發散的情況：
收斂，發散
收斂，收斂
發散，發散
發散，收斂
結論1：對於級, 如果收斂，則必收斂。
證明：使用cauchy準則證明。任意給, 因為收斂，根據cauchy準則，存在, 滿足即所以
根據cauchy準則得到級數收斂。【證明完畢】
註記2：根據結論1， 註記1中的情況
三、情況四不可能出現，情況
一、情況二可能出現。
定義2：級數,如果其誘導的級數收斂，稱級數是絕對收斂級數。如果級數收斂，而其誘導的級數發散，稱級數是條件收斂級數。
註記3：從以上定義可以知道，絕對收斂的級數是「最好的級數」，條件收斂的級數次之，而發散的級數是「最差的級數」。
例一：幾何級數
當時收斂於且是絕對收斂級數. 當發散。
證明：用定義法判斷，略。
例二：級數
當是是絕對收斂級數，而時該級數發散。
證明：用cauchy法則判斷，略。
例三：交錯級數
當是是絕對收斂級數，而時該級數是條件收斂級數，當時該級數發散。
證明：用cauchy準則，萊布尼茨定理判斷，略。
例四：冪指級數
當時是發散級數，而當時該級數是絕對收斂級數。
證明：用比值法、收斂的必要條件判斷，略。
例五：階乘級數
！ 對於任意，該級數是絕對收斂級數。
證明：用比值法判斷，略。
例六：級數
對於任意的, 該級數是絕對收斂級數， 當時級數發散。
證明：記其通項. 考慮
如果，該級數絕對收斂，如果 且時, 則應用比值法
所以，這時該級數絕對收斂。綜合起來，當時，該級數絕對收斂。
當時，根據比值法，
所以級數發散，因此原級數是發散級數。
當時，即正項級數
當時，即交錯級數
因為單調增加趨於，所以
單調減少趨於1，故, 從而這兩種情況下級數的通項不趨於0，故級數發散。【證明完畢】
收斂，發散
缺點之一：如果和均絕對收斂，則
按照任意方式排列求和而成的級數不一定收斂，也不一定發散。
優點之一：如果條件收斂，則對於任意,必定存在的更序級數滿足
收斂(隱含收斂)
優點之一：如果絕對收斂，則的更序級數滿足
優點之二：如果和均絕對收斂，則
按照任意方式排列求和而成的級數絕對收斂且
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