關於組合數的一類知識 其實就那麼多關鍵是 計數問題如何解決，這裡是計數問題常用模型 隔板法。
隔板法 具體的 指將 n個數字分成m組的方案數 這看起來很難計數 有乙個想法是 每個數字都有m個選擇 答案為m^n 可是有重複除以n!也沒有什麼具體的含義所以不能這麼搞。
觀察到這些球並不是互異的。眾所周知 組合數是不講究互異的 所以考慮轉換到組合數的模型。我們知道m組中數字個數加起來為n。
引例：抽象出來模型n個球放一排往裡面放m-1個板就可以完成這個問題了 且 不講究互異。但是考慮我們只能在空隙中放板所以 是c(n-1,m-1).
但是考慮我們每一組分到的球數都是》=1的 所以當題目說可以為0的時候我們還需做乙個操作我們把每組中放乙個球的情況看成放了0個球這樣依次的遞減 我們只需要再多出n個球就好了，這樣保證了每一組中都至少有了乙個球，當然如果是乙個球的話那麼其實是0個球。
這裡 就引出了我們隔板法的定義：在n個元素中n-1個空插入k個板 將其分成k+1組的方法。
應用隔板法d的三個必要條件：1 n個元素必須不互異 2 所分成的每一組都必須要有1個元素 3 分成的組別彼此相異。
接下來介紹幾種變形吧...
添元素隔板法。上述引例其實就是乙個這種方法的應用。
1 那麼 更換問題 10個相同的小球放入3個不同的箱子 第乙個箱子至少乙個 第二個箱子至少三個個 第三個箱子可以不放 有多少種情況...還簡單麼...
當然 因為小球的相同的 我們可以直接欽定先把1個球放第乙個箱子 三個球放第二個箱子裡 那麼 7個球放到三個箱子裡且每個箱子可以不放球 這樣我們成功轉換到上述模型了...
但是 這樣做還是繞了一圈 因為我們最終還是轉換成了正整數解，不如直接向正整數解進行轉換 考慮我們從第二個箱子欽定放兩個 最後乙個箱子我們手動的加球表示讓第三個箱子至少有1個球 的時候表示為0個球2個球的時候表示1個球...即可。
為什麼正確...證明1 發現兩種做法的到的式子相同故正確，證明2 我們始終定義第三個箱子有球的話就是球數-1 這樣也能證明是正確的。
2 將20個相同的小球放入編號分別為1，2，3，4的四個盒子中，要求每個盒子中的球數不少於它的編號數，求放法總數。
顯然我們直接欽定放就行了 反正球是相同的。關於正確性的證明可以從答案的存在性證明。
3 一類自然數從第三個數字開始每個數字都等於其前面兩個數字之和 直至不能寫為止 求這種數字有多少個？
顯然我們從沒10到100開始爆搜 直接搜方案數即可，但是能利用我們上述的隔板法解決此問題麼？我剛才手動算了一下發現是45個 這也意味著不需要for 但是我想讓我們利用隔板法解決這個問題...
顯然乙個數字從前兩位固定 那麼整個數字就固定了我們只需要統計合法的前兩位即可。設第一位為a 第二位為b 那麼則有 a+b<=9 且a>0 這個時候我們把<=換成==就是上面的模型了...可惜並不能。
我們發現b可以為0 那麼先補球讓b>0 也就是a+b<=10 a b都為正整數 考慮《如何處理也就是這10個球不一定全部放入a和b我們每次把沒放入a b 的球都放到c就好了 那麼有 a+b+c==10 但是還有可能放完 c為空所以我們再次欽定c>0 那麼結果就是
11個球放入三個箱子之中 c(10,2) ==45;非常的巧妙利用不斷轉換的原理。
添板插板法。還是上述例題，具體的我們讓 就是新增了 c這個板 然後再進行插板 上述過程就是這個了 不過和添元素集合在了一起。
選板法。有10粒糖，如果每天至少吃一粒(多不限)，吃完為止，求有多少種不同吃法？看起來很難解決的問題我們利用選板法。
首先必要的 我們有9個板如果都放的話說明10天每天一粒，但是每個板可以選擇放或者不放 所以是2^9=512 兩個板之間的糖定義為前乙個板的那一天吃的。這樣完美的轉換了問題且不重不漏。
當然 還有一種證明我們先把9個板放上去 發現每天一粒 如果哪一天我多吃了 說明最後一天是沒有的...那最後一天不吃就是9種 倒數第二天是8種 ...這樣做顯然出錯 因為有重複的了...
但其實我們畫一張圖觀察一下 上面的方法顯然正確。
分類插板法。小梅有15塊糖，如果每天至少吃3塊，吃完為止，那麼共有多少種不同的吃法？
這個和上面的選板法非常的相似可是我們不能保證每天都吃三塊 直接欽定 也不行我們不知道天數不能欽定...
我們可以分類討論一下 最多吃5天 最少吃1天 那麼 這兩種方案都是1,當吃2天的時候 欽定...c(10,1)=10 吃三天的時候 欽定...c(8,2)=28.吃4天 欽定..c(6,3)=20
綜上有60種。
逐步插板法。在一張節目單中原有6個節目，若保持這些節目相對次序不變，再新增3個節目，共有幾種情況？
我們可以逐步插入 插入第乙個板的時候空隙7個 c(7,1)第二個繼續c(8,1)第三個c(9,1) 相乘得 504；因為 我們新增的三個元素互異 所以不能一起插入需要逐步的插入。
到這裡 基本上隔板法 的所有模型就結束了 熟記方法 數數的時候好數/cy
組合數 隔板法
隔板法是組合數學的一種重要思想 一般表現形式為把m個物品放入n個盒子裡 n m letax壞了tat 每個盒子裡必須有至少乙個物品 所有物品完全相同 求方案數 可以在邏輯上將物品放入乙個一維的長盒子裡 然後在任意兩個物品之間插入隔板 那麼我們可以將問題簡化為在m 1個空位中插入n 1個隔板 從而將物...
錯排 隔板法
錯排f i f i 2 f i 1 i 1 f i 1 i 1 就是前i 1個人都坐的不是自己的位置，只要現在的第i個人和他們之間的任意乙個人換一下座位就行了 f i 2 i 1 前i 1個人裡面有乙個人k坐的是自己的位置，剩下i 2個人是錯排的，只要第i個人和那個人k換一下座位，所有人也就錯排啦 ...
排列組合 隔板法
1 定義 隔板法就是在n個元素間插入 b 1 個板，即把n個元素分成b組的方法。c n 1,b 1 2 條件 隔板法必須滿足三個條件 1 這n個元素必須相同,2 所分成的每一組至少分得乙個元素，3 分成的組別彼此差異。3 示例 1 例如 某校組建一球隊需16人，該校共10個班級，且每個班至少分配乙個...