這裡有 min-max 容斥的證明以及唯一一道博主做過的例題...
上個結論：
\[min\=\sum_(-1)^max\
\]\[max\=\sum_(-1)^min\
\]具體的證明其實很簡單...我們考慮證明其中乙個（以第乙個為例），另乙個可以用類似證法得到結論。咱直接考慮集合內元素不重的情況，因為相同大小我們強制規定他們之間存在大小關係就好了，並不影響結果
那麼我們再把元素從小到大排個序，從前往後考慮每個值對答案的貢獻...
首先第乙個元素有貢獻當且僅當集合裡只有它乙個元素，那麼這樣的集合只有乙個，所以它的貢獻有且僅有一次；
對於第二個元素，它除了自己一定要選以外，比他小的元素（這時只有第乙個元素）全部可選可不選，總共有 \(2^=2\) 種方案，並且集合大小為奇數和為偶數的情況各有一次，兩者貢獻抵消
對於後面的元素，可以用第二個元素類似的思路去想，最後我們發現除第乙個元素以外的所有貢獻都相互抵消了當然咱也可以用二項式定理草率地證明一下，然後也能發現貢獻相抵了，究其原因就是楊輝三角奇數列和偶數列之差為 0 ，而第一行為 1 是個特例 （因為只有乙個元素）
於是乎得證...
例題：按位或
這題裡面的期望滿足使用 min-max 容斥的性質...
題解點 這裡
min max容斥學習筆記
給出集合 s 可以通過某種奇特的方式將最小值和最大值互相轉化，甚至轉化為 k 大值。更為有用的是，它在期望意義下也是正確的。min s sum 1 max t max s sum 1 min t 證明和作用不再贅述，網上大把。min max 容斥不只可以搞出最值，甚至可以搞出 k 大值。受上面的啟發...
min max容斥學習筆記
min max 容斥是說乙個這樣的式子 max sum 1 min min sum 1 max 其中 min 表示 s 集合中的最小元素，max 表示最大元素。第乙個式子證明如下 max sum f t min 考慮第 x 1 大的元素被統計到的次數，我們可以列舉有多少個集合的最小值為第 x 1 大...
總結 Min Max容斥學習筆記
給定集合 s 設 max s 為 s 中的最大值，min s 為 s 中的最小值，則 max s sum 1 min t 這個東西叫 min max容斥。證明可以拿二項式反演證 題目有 n 種卡片，每一秒都有 p i 的概率獲得一張第 i 種卡片，求每張卡片都至少有一張的期望時間。記 max s 為...