容斥和反演就是乙個東西。|a
1¯¯¯
¯∩a2
¯¯¯¯
∩...
∩an¯
¯¯¯|
=∑i=
1n(−
1)n−
i∑|t
|=i,
t=|a
x1∩a
x2∩.
..∩a
xi|
直接列舉所有子集計算。
例題：bzoj4455
坑待填。
就是有兩個式子。 gn
=∑i=
0nan
,ifi
fn=∑i=0
nbn,
igi
把下式帶入上式： gn
=∑i=
0nan
,i∑j
=0ib
i,jg
j gn
=∑j=
0ngj
∑i=j
nan,
ibi,
j 如果滿足∑n
j=ia
n,jb
j,i=
[n=i
] ，那麼這兩個式子就可互相反演啦！gn
=∑i=
0n(n
i)fi
⟺gn=
∑i=0
n(−1
)n−i
(ni)
fi它的本質就是： ∑j
=in(
nj)(
−1)j
−i(j
i)=[
n=i]
∑j=in(−
1)j−
i(ni
)(n−
ij−i
)=[n
=i]
用d替換j−i
(ni)
∑d=0
n−i(
−1)d
(n−i
d)=[
n=i]
(ni)[n−
i=0]
=[n=
i]得證。
例題：bzoj3622
把第一類stirling數看成有符號的。 gn
=∑i=
0nfi
⟺fn=
∑i=0
n[ni
]gi
本質就是：∑j
=in[
ji]=
[n=i
] 第一類stirling數冪與下降冪的關係： xk
−=∑i
=0k[
ki]x
i 第二類stirling數冪與下降冪的關係： xk
=∑i=
0kxi
− 代入就好。
例題：bzoj4617，
wearry出的神題fn
=∑d|
ngd⟺
gn=∑
d|nμ
ndfd
fn=∑i=1
n[i|
n]gi
⟺gn=
∑i=1
n[i|
n]μn
ifi
本質就是：∑j
=in[
j|n]
[i|j
]μji
=[n=
i] 用
d 替換ji
： ∑d=
1ni[
d|ni
]=[n
i=1]
得證。又叫min-max容斥，感覺很神奇，其實很sb。
max=∑t
⊆s(−
1)|t
|−1min
設最大值為x∈
s ，那麼構造對映f(
t)→x
∈t?t
−x:t
+x。那麼當
t 不為空和時，t
與f(t
)因為只相差乙個最大值，最小值肯定相同，集合大小只相差
1 ，就抵消了，因為空集沒有最小值，所以最後只剩下
的貢獻。
套上期望還是蠻有用的：
hdu4624
聽說把組合數和stirling數根據遞推式往負方向推可以推出與之對偶的東西。。。
總結 容斥原理與反演
這個是個好東西.實際上，容斥和反演沒有什麼區別。目錄 題解 cf997c sky full of stars 題解 cf451e devu and flowers 容斥 題解 cjoi2019 登峰造雞境 prufer序列 斯特林數 題解 cf559c c.gerald and giant ches...
容斥原理，反演
大概知道為什麼自己水平比較渣啦。一開始只會反演，然後被容斥驚豔到。然後寫了一段時間容斥，反演忘光光。所以融會貫通真的很難。多校的三道題，當時是用反演做的。事實上以前就知道容斥跟莫比烏斯函式值的關係，然後熟練掌握 然後一段時間沒用就忘了哈。簡單來說就是，求乙個數和乙個集合中的數互質的個數，把集合中乙個...
容斥原理及廣義容斥（二項式反演）
就是這麼乙個公式 因為本人太弱，不會嚴謹的數學證明，感性理解一下就是把那些重複的元素去掉就行了。容斥的套路挺多的，還是要多做題。貌似也叫二項式反演，總共有3種形式，但常用的只有兩種 1.若 f n sum limits binomg i 那麼 g n sum limits 1 binomf i 具體...