容斥原理是大學離散數學裡的應用，就算沒學過也能理解。畢竟，在程式設計師眼中，排列組合是不會有多麼離散的。
題目直接看題
devu有n個盒子，第i個盒子中有ai枝花。題解同乙個盒子內的花顏色相同，不同盒子內的花顏色不同。
devu要從這些盒子中選出m枝花組成一束，求共有多少種方案。
若兩束花每種顏色的花的數量都相同，則認為這兩束花是相同的方案。
結果需對109+7取模之後方可輸出。
輸入格式
第一行包含兩個整數n和m。
第二行包含n個空格隔開的整數，表示a1,a2,…,an。
輸出格式
輸出乙個整數，表示方案數量對109+7取模後的結果。
資料範圍
1≤n≤20 ,
0≤m≤10^14,
0≤ai≤10^12
輸入樣例：
3 51 3 2
輸出樣例：
3
簡化分析：
抽象題意，就是在求n個盒子中，有重複的選取m。。
是一道明顯的有重複組合問題，但是這道題加了限制以此增加難度,同時資料量很大，m達到了10^14
下面看一下簡化版。
假設，每個盒子中球的數量是無限的。
那麼給如何求選取方案呢？
可以這樣：
假設xi為第i個盒子中選出來的球。
那麼滿足等式：x1+x2+x3+..
..xi...+xn=m
（1）使用離散數學中有重複組合計數就直接得出答案，
（2）另一種思考模式，可以轉化一下，求該等式解的數量，但是注意到xi可能為0，於是處理等式每個xi都加1,
x1+x2+x3+..
..xi...+xn=m+n
此時xi都為正整數，這就變得簡單了。
使用隔板法，（在m+n-1個縫隙裡放入n-1個隔板）
答案就是c(m+n-1,n-1)
;
這也很明顯，我們使用排雜法
那怎麼排雜呢？
我們需要滿足的條件是x1<=a1,x2<=a2,x3<=a3……xn<=anx1<=a1,x2<=a2,x3<=a3……xn<=an
我們只需要考慮理想情況c(m+n-1,n-1)再減去所有不合法的情況。
不合法的情況分為很多種，假設s1表示x1>a1的不合法情況，以此類推，si表示xi>ai的不合法情況，那麼很明顯。主角登場，容斥原理。不合法就可以表示為s1⋃s2⋃s3……⋃sn的交集
注意，每一種組合就是該項不合法的所有情況，比如s1=c(m+n−1−(ai+1),n−1)
那麼結果展開就是
將其展開就是：
c(m+n-1,n-1)−|s1|−|s2|−……|s3|+|s1⋂s2|+……−|s1⋂s2⋂s3|−...
複雜度下次補上。。
。其中用到費馬小引理求逆元。
看**
#include
#include
#include
using
namespace std;
typedef
long
long ll;
const
int n=
25,mod=
1e9+7;
ll a[n]
;ll down =1;
//求快速冪
ll qmin
(ll a,ll k)
return res;
}//求組合數c(a,b)
ll c
(ll a,ll b)
intmain()
//預處理（n-1）！的逆元
down=
qmin
(down,mod-2)
;
ll res=0;
for(
int i=
0;i<
1
(res+
c(a,b)
*fg)
%mod;
//容斥原理求組合數
}
cout<<
(res+mod)
%mod
}
總結 容斥原理與反演
這個是個好東西.實際上，容斥和反演沒有什麼區別。目錄 題解 cf997c sky full of stars 題解 cf451e devu and flowers 容斥 題解 cjoi2019 登峰造雞境 prufer序列 斯特林數 題解 cf559c c.gerald and giant ches...
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容斥原理 數論
兩個集合的容斥關係公式 a b a b a b a b 重合的部分 三個集合的容斥關係公式 a b c a b c a b b c c a a b c 最後可以推廣到n個集合，集合裡的元素為奇數則加，偶數減 hdu 4135 很簡單，直接求出所有的質因子，然後容斥解決 author crystal ...