\(\min-\max\)容斥是說乙個這樣的式子：
\[\max\=\sum_(-1)^\min\
\]\[\min\=\sum_(-1)^\max\
\]其中\(\min\\)表示\(s\)集合中的最小元素，\(\max\\)表示最大元素。
第乙個式子證明如下：
\[\max\=\sum_f(|t|)\min\
\]考慮第\(x+1\)大的元素被統計到的次數，我們可以列舉有多少個集合的最小值為第\(x+1\)大的元素，就是說我們只把前\(x+1\)個元素拿出來，可以得到：
\[res=\sum_^\binomf(i)=\sum_^\binomf(i+1)
\]那麼我們現在只想把最大的容斥出來，有：
\[[x=0]=\sum_^\binomf(i+1)
\]二項式反演一下可得：
\[f(x+1)=\sum_^(-1)^\binom[i=0]
\]注意這裡是把左邊當成了\(g(x)=[x=0]\)。
那麼化簡就是：
\[f(x+1)=(-1)^x
\]即：
\[f(x)=(-1)^=(-1)^
\]證畢。
這玩意說白了就是這個式子：
\[max_k(s)=\sum_(-1)^\binom\min(t)
\]其中\(max_k(s)\)表示\(s\)集合中第\(k\)大的值是多少。
證明如下：
考慮我們還是想把它容斥出來，那麼嘗試著配個容斥係數\(f(|t|)\)，則：
\[max_k(s)=\sum_f(|t|)\min(t)
\]同上，考慮第\(x+1\)大的元素被統計了多少次，可得：把式子抄過來
\[res=\sum_^\binomf(i)=\sum_^\binomf(i+1)
\]我們是想把第\(k\)大的容斥出來，其他的都不要，則：
\[\sum_^\binomf(i+1)=[x=k-1]
\]設後面的為\(g(x)=[x=k-1]\)，二項式反演可得：
\[f(x+1)=\sum_^x(-1)^\binomg(i)=\sum_^x(-1)^\binom[i=k-1]
\]化簡可得：
\[f(x+1)=(-1)^\binom
\]即：
\[f(x)=(-1)^\binom
\]得證。
看上面的感覺這玩意還是沒有什麼用，但是最有用的一點是這玩意在期望的意義下成立，即：
\[e(\max\)=\sum_(-1)^e(\min\)
\]\[e(max_k(s))=\sum_(-1)^\binome(\min(t))
\]具體的應用可以看一下下面的習題。
min-max容斥
[hdu4336]card collector，sol.
[bzoj4036] [haoi2015]按位或，sol.
[loj#2542] [pkuwc2018] 隨機遊走，sol.
廣義min-max容斥
[luogup4707] 重返現世，sol
min max容斥學習筆記
給出集合 s 可以通過某種奇特的方式將最小值和最大值互相轉化，甚至轉化為 k 大值。更為有用的是，它在期望意義下也是正確的。min s sum 1 max t max s sum 1 min t 證明和作用不再贅述，網上大把。min max 容斥不只可以搞出最值，甚至可以搞出 k 大值。受上面的啟發...
總結 Min Max容斥學習筆記
給定集合 s 設 max s 為 s 中的最大值，min s 為 s 中的最小值，則 max s sum 1 min t 這個東西叫 min max容斥。證明可以拿二項式反演證 題目有 n 種卡片，每一秒都有 p i 的概率獲得一張第 i 種卡片，求每張卡片都至少有一張的期望時間。記 max s 為...
Min Max 容斥的證明
這裡有 min max 容斥的證明以及唯一一道博主做過的例題.上個結論 min sum 1 max max sum 1 min 具體的證明其實很簡單.我們考慮證明其中乙個 以第乙個為例 另乙個可以用類似證法得到結論。咱直接考慮集合內元素不重的情況，因為相同大小我們強制規定他們之間存在大小關係就好了，...