人教版反三角函式

三角函式是研究以實數[或者以角為自變數，角與實數之間是一一對應的]為自變數，以函式值為因變數的對映，簡單說就是角到實數的對映；反三角函式是研究以實數為自變數，以函式值[或者以角為因變數]為因變數的對映，簡單說就是實數到角的對映；同名的三角函式和反三角函式之間是互為反函式的；

$f(x)=\arcsin x$的性質列舉：

①定義域為$[-1,1]$；值域為$[-\cfrac,\cfrac]$;

②在$[-1,1]$上單調遞增；③奇函式；④關於點$(0,0)$對稱；

⑤其影象與$y=\sin x,x\in[-\cfrac,\cfrac]$的影象關於$y=x$對稱；

$g(x)=\arccos x$的性質列舉：

①定義域為$[-1,1]$；值域為$[0,\pi]$;

②在$[-1,1]$上單調遞減；③非奇非偶函式；④關於點$(0,\cfrac)$對稱；

⑤其影象與$y=\cos x,x\in[0,\pi]$的影象關於$y=x$對稱；

$h(x)=\arctan x$的性質列舉：

①定義域為$(-\infty,+\infty)$；值域為$(-\cfrac,\cfrac)$;

②在$(-\infty,+\infty)$上單調遞增；③奇函式；④關於點$(0,0)$對稱；

⑤其影象與$y=\tan x,x\in(-\cfrac,\cfrac)$的影象關於$y=x$對稱；

【2020北京人大附中高一試題】$\arcsin(\sin\cfrac)$=_____________.

分析：$\arcsin(\sin\cfrac)=\arcsin(\cfrac})=\cfrac$；

【2020北京人大附中高一試題】$\arcsin(-\cfrac)+\arccos(-\cfrac})+\arcsin(-\sqrt)$

分析：$\arcsin(-\cfrac)+\arccos(-\cfrac})+\arcsin(-\sqrt)$

$=-\cfrac+\cfrac-\cfrac=\cfrac$

【2020北京人大附中高一試題】$\cfrac}-\arccos(-\frac)})}$

分析：$\cfrac}-\arccos(-\frac)})}$

$=\cfrac-\frac}}=1$

【2020北京人大附中高一試題】已知直線傾斜角$\theta$的範圍是$[0,\pi)$，當$\theta\neq \cfrac$時，$\tan\theta$等於直線的斜率值；則直線$x+2y+1=0$的傾斜角為【】

$a.\arcsin(-\cfrac})$ $b.\arccos(-\cfrac})$ $c.\arctan(-\cfrac)$ $d.-\arctan(\cfrac)$

分析：由題可知，直線的斜率$k=\tan\theta=-\cfrac$，傾斜角為鈍角；

引入非零比例因子，可得到$\sin\theta=m$，$\cos\theta=-2m$，由於$\theta\in [0,\pi)$，故$m>0$，

由$m^2+(-2m)^2=1$，得到$m=\cfrac}$，

故有$\sin\theta=\cfrac}$，$\cos\theta=-\cfrac}$，$\tan\theta=-\cfrac$，

若用反正弦刻畫傾斜角，則$\theta=\pi-\arcsin(\cfrac})$，故$a$錯誤；

若用反余弦刻畫傾斜角，則$\theta=\arccos(-\cfrac})$，故$b$正確；

若用反正切刻畫傾斜角，則$\theta=\pi-\arctan(\cfrac)$，故$c$、$d$錯誤；

解後反思：①由於$f(x)=\arcsin x$為奇函式，故$\arcsin(-\cfrac})=-\arcsin(\cfrac})$為負角；

由於$f(x)=\arctan x$為奇函式，故$\arctan(-\cfrac)=-\arctan(\cfrac)$為負角；

②$\arctan(-\cfrac)=-\arctan(\cfrac)$，但是$\arctan(-\cfrac)\neq \pi-\arctan(\cfrac)$

【2020北京人大附中高一向量部分選做題】求證：在區間$(0,\cfrac)$內存在唯一的實數對$(c,d)$，$c,d\in(0,\cfrac)$，且$c，使得\(\sin(\cos c)=c$，$\cos(\sin d)=d$成立。

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