顧名思義，樹鏈剖分就是將樹剖分成一條一條的鏈，之後快速的操作鏈。
樹鏈剖分的複雜度為，預處理兩遍dfs，o(n)複雜度；之後查詢或者修改操作每一條鏈為o(log(n))，因為剖分出來的鏈一共有log(n)條，當然如果在鏈上再套個線段樹，那每次操作就是o(log2(n))。之後，下文只利用樹鏈剖分求樹上兩點的最近公共最先，不涉及線段樹，了解了基本過程，我相信，再套個線段樹也不是難事。
目前，樹鏈剖分的有以下幾種：重鏈剖分o(log(n))、長鏈剖分o(n
\sqrt
n)和實鏈剖分（lct）。重鏈剖分用的最多，複雜度也較好，也就是鏈的條數，下面著重敘述什麼是重鏈剖分。
「重」的定義：子樹結點個數。於是，得出了重兒子的定義：幾個兒子結點中，子樹結點數量最多的，那個兒子就是重兒子。有點抽象，看圖：
圖中紅色的點代表重兒子（當然1號根結點，我也標成了紅色），以1號結點為例，他的兒子有2、8、11，2號子樹結點有，8號子樹結點有，11號子樹結點有，可以得出2號子樹結點數量最多，因此2號是1號結點的重兒子，為紅色，8和11號是1號結點的輕兒子，為黃色。其他的結點依次類推。
重鏈的定義（個人見解）：以輕兒子為起點（或者整個樹的根結點），依次向下所有重兒子組成的鏈是重鏈，如圖中紅色的線，都是重鏈。而黃色的線為輕鏈，因此有輕鏈的定義：以重鏈為主幹鏈，其分支的鏈為輕鏈，且向外擴充套件長度為1。
圖中重鏈有：、、；輕鏈有、、、、，這裡發現輕鏈長度有大於1的，如何理解擴充套件長度為1，我們首先以重鏈向外擴充套件1，有，再以向外擴充套件1，有，因此是沒問題的。
從上面的分析可以看出這些性質，輕鏈本質就是，一些長度為1的邊，將他們作為「橋梁」連線下乙個重鏈；也可以看出，輕兒子結點，都是下一條重鏈的起始結點（除去某些葉子結點，因為只有乙個結點，也說不上是鏈，圖中的3、6等）；
那麼重點是，我們得到一系列的重鏈，如何對他們快速操作？答案是記錄，重鏈的頭結點，如這條鏈，我們就標記
那麼我們就能直接跳到重鏈的頭部。那麼有個問題啦，在同一條重鏈上可以直接跳到頭部，如果不是在同一條鏈上呢？答案是，從這條重鏈的頭部再往上跳，到他的父親結點，必定在另外一條重鏈上，然後根據需求繼續跳。如圖所示，b結點跳躍的過程：
b在這條重鏈，跳至6號結點，從6號再跳到這條重鏈，再跳就是1根節點。到這裡，再想想什麼輕鏈，理解會更深刻「將他們作為「橋梁」連線下乙個重鏈」。
同樣以上圖為例，求ab兩點的最近公共祖先。1、誰先跳，2、什麼時候可以判斷出，lca。
答案1，深度較大的先跳，問題來了，圖中a、b深度一樣啊？不不不，不是直接比較a、b結點的深度，比較a和b向上跳乙個鏈的深度，b結點所在的重鏈，往上，就是4號結點了，a結點所在的重鏈是最初的重鏈，往上，也只能是1號結點，我們比較1號和4號結點的深度即可，發現4號結點深度大，那麼我們優先跳b結點，至4號結點。用father陣列記錄每個結點的父結點，即**為 b=father[top[b]]，其中top[b]=6。
答案2，如果兩個點在同一重鏈上，那麼深度較小的，為lca，否則還是要不斷的跳。a、b結點，當b結點跳到4結點時，a和4在同一重鏈中，即top[a]==top[4]，所以4為a、b最終的lca。
經過上面的分析，需要這些陣列：
第一遍dfs得到son,depth,father,siz，第二遍dfs通過son,father得出top。第一遍dfs比較簡單，重點說說第二遍dfs，首先根據son，先dfs所有的重鏈，遍歷重鏈過程中，傳遞下去top值；再以重鏈為主幹，遍歷所有的輕鏈，因為輕結點會是重鏈的起點，因此，又可以得到新的重鏈，依次下去。
#includeusing namespace std;
#define ios ios::sync_with_stdio(false)
#define ll long long
#define maxn 500005
#define mod 99999997
#define inf 1000000007
struct edge
g[maxn*2];
int head[maxn],num;
void add_edge(int from,int to)
int siz[maxn];
int depth[maxn];
int son[maxn];
int top[maxn];
int father[maxn];
void dfs1(int fa,int cur,int dd)}}
son[cur]=hid;
}void dfs2(int cur,int tt)
}int query(int u,int v)
dfs1(s,s,1);
dfs2(s,s);
while(m--)
return 0;}/*
6 100
1 11
1 81 2
2 72 4
2 34 6
4 55 15
6 16
8 99 10
11 13
11 12
13 14
*/
樹鏈剖分求LCA
這裡先推薦兩道練習的裸題 首先是求點 codevs4605 lca 就是求兩個點的公共祖先，每次詢問xor上上乙個詢問的答案。先是兩遍dfs dfs1 把dep siz son求出來 dfs2 求出top和w siz v 表示以v為根的子樹的節點數 dep v 表示v的深度 根深度為1 top v ...
樹鏈剖分求lca
題目描述 給一棵有根樹，以及一些詢問，每次詢問樹上的2 個節點a b，求它們的最近公共祖先.輸入第一行乙個整數n.接下來n 個數，第i 個數fi 表示i 的父親是fi.若fi 0,則i 為樹根.接下來乙個整數m.接下來m 行，每行2 個整數a b，詢問節點 a xor lastans bxor la...
樹鏈剖分（1） 樹剖求LCA
先看乙個樹剖的經典應用 初始化 先dfs一遍子樹，統計出每乙個點x的重兒子son x 和以x為根節點的子樹的大小siz x 這裡選擇x中子樹大小最大的兒子作為它的重兒子，第二遍dfs劃分樹鏈 重兒子與其父親節點劃分到一條鏈。其他的兒子為x的輕兒子，但屬於新的鏈的頂端元素。void dfs1 int ...