樹鏈剖分與倍增求LCA

首先我要吐槽機房的辣基供電情況，我之前寫了一上午，馬上就要完成的時候突然停電，然後\(gg\)成了送鏈剖分

其次，我沒歧視\(tarjan lca\)

理解較為簡單的一種方法，但速度略慢

每個數字都可以拆成幾個二的整數次的和，我們可以找出每個數字是由哪幾個二的整數次的數合成的

比如說\(14 _ = 1110_2 = 1000 _2 + 100 _2 + 10 _2 = 8 _ + 4 _ + 2 _\)

那麼我們如果要統計一段長度為十四的區間的最小值，我們就可以先統計前八個數的最小值，再統計之後的四個，再統計之後的兩個。

我們可以用\(f[i][j]\)表示從\(i\)開始往後\(2^j\)長度的最小值

給寧康康**

for( int i = 1; i <= 23; i++ )
}

下面這個東西是啥意思呢

f[i][j - 1], f[a[i][j - 1]][j - 1]

\(2^j = 2^ +2^\) 比如說 \(2^4 = 2 ^ 3 +2 ^ 3\)

在每個葉節點到根節點的鏈上做倍增

演示一哈(如果開啟我的部落格就會發現我這種蒟蒻說不清話只會畫圖

應該比較顯然吧???

我們在求\(lca\)前\(dfs\)一遍，統計出每個葉節點的\(f[i][1]\)（也就是父節點）和\(dep[i]\)（就是該節點所處深度，規定根節點深度為1）。然後跑一遍倍增，預處理每個葉節點的向上\(2^i\)個祖宗是誰。

然後倍增求\(lca\)，我們可以先看兩個點是否在同一深度，不在的話就把比較低的那個點往上走一走，直到走到同一深度。注意在跳的時候要從大到小列舉，給寧康康**，寧再把上面的\(14\)那個例子帶進去從\(1\)到\(20\)列舉一下子就懂了

inline int lca( int x, int y )
if( x == y ) return x;
for( rint i = 20; i >= 0; i-- )
return f[x][0];
}

#includeusing namespace std;
#define rint register int
int n, m, s, cnt, dep[500005], f[500005][23], head[500005];
struct edgea[500005<<1];
inline int read( void )
while( ch >= '0' && ch <= '9' )
return re * f;
}inline void addedge( int x, int y )
inline void dfs( int x, int fa )
for( rint i = head[x]; i; i = a[i].nxt )
return ;
}inline int lca( int x, int y )
if( x == y ) return x;
for( rint i = 20; i >= 0; i-- )
return f[x][0];
}int main( void )	
dfs( s, 0 );
int u, v;
for( rint i = 1; i <= m; i++ )
return 0;
}

樹鏈剖分其實有好多種剖分方法，但這裡只介紹輕重邊剖分

乙個節點只能有乙個重兒子。

鏈 : 連續的重/輕邊構成一條鏈。(圖中從\(1\)到\(14\)即一條重鏈)

\(dep[i]\) : \(i\)節點的深度，規定根節點深度為\(1\)。

\(fa[i]\) : \(i\)節點的父親。

\(son[i]\) : \(i\)節點的重兒子。

\(siz[i]\) : 以\(i\)節點為根的子樹的大小。

\(top[i]\) : \(i\)所在鏈的根。(圖中從\(1\)到\(14\)的鏈的根為\(1\))

重邊 : 以\(i\)節點的兒子中\(siz\)最大的兒子到\(i\)的連邊，即圖中的粗邊(該兒子也叫重兒子)。

輕邊 : 處重邊外的其他邊。

首先\(dfs\)一遍，求出\(dep\),\(fa\),\(son\),\(siz\)，容易實現，給寧康**

inline void dfs1( int now, int father, int de )
}}

然後再\(dfs\)一遍，處理出每個點的\(top\)，也就是所在鏈的頂點，其中輕鏈的頂點是它自己。

給寧康康**

inline void dfs2( int now, int topf )
}

如果乙個點要跳到它的\(lca\)，就一定會跳到它的\(lca\)所在鏈（廢話……

那麼我們要判定是否已經找到\(lca\)，就只需要看當前兩點\(xy\)是否在同一條鏈上，其實就是看兩個點的\(top\)是否相等，如果不相等的話，我們就讓深度大的點一次性跳完一整條重鏈，然後再跳一步，走上另一條重鏈，再重複以上比較\(top\),跳重鏈的過程

我們可以發現非葉節點一定在某條重鏈上，所以我們一次性跳完一條重鏈，再跳一步，就會跳上另一條重鏈，所以查詢\(lca\)的複雜度是小於\(logn\)的

給寧康康**

inline int lca( int x, int y )
if( dep[x] > dep[y] ) return y;
return x;
}

全部**：

#includeusing namespace std;
#define rint register int
int t, n, m;
int son[1000010], fa[1000010], siz[1000010], dep[1000010], top[1000010];
vector< int > vec[1000010];
inline int read( void )
while( ch >= '0' && ch <= '9' )
return re * f;
}inline void dfs1( int now, int father, int de )	}}
inline void dfs2( int now, int topf )
}inline int lca( int x, int y )
if( dep[x] > dep[y] ) return y;
return x;
}int main( void )
dfs1( 1, 1, 1 );
dfs2( 1, 1 );
for( rint i = 1; i <= m; i++ )    
return 0;
}

如果要求樹上兩點最短距離，可以求\(lca\)

\(dis = dep[x] + dep[y] - 2 * lca\)

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