線性方程組的數值解法

1.向量與矩陣的範數 /* norms of vectors and matrices */

為了研究線性方程組數值解法的誤差估計和迭代法的收斂 性，有必要引進向量範數和矩陣範數的概念。

歐式範數

設? =( ?1,?2,…,??) ?,? = (?1,?2,…,??) ∈ ℝ?,稱(?,?) = ??? = ??? = 累加1-n 的???? 為向量?與?的內積，稱非負實數 ||?||2= 根號(?,?) = 累加1-n的 ??2的1/ 2次方為向量?的歐式範數.

設? ? = ||?||為定義在?維實空間ℝ?上的實值函式， 如果滿足條件：

（1）正定性： ? ≥ 0, ? =0當且僅當? = 0時成立。

（2）正齊次性： ?? = ? ∙ ? ,∀? ∈ ℝ,∀? ∈ ℝ?.

（3）三角不等式：? + ? ≤ ? + ? ,∀?,? ∈ ℝ?.

則稱? ? = ||?||為?維空間ℝ?上的向量範數。

向量範數的連續性定理

設? ? = ||?||為ℝ?上的任一向量範數，則?(?) 是?的分量 ?1,?2,…,??的連續函式。

設 ? ?, ? ?是向量空間ℝ?上的任意兩種範數，則存在常 數0 < ?1 ≤ ?2，使得 ?1 ? ? ≤ ? ? ≤ ?2 ? ?,∀? ∈ ℝ?.

設有向量序列 {}?}? ∈ ℝ?,? = （?1 ?,?2 ?,…,?? ? )?；；向量?∗ ∈ ℝ?，∗ =( ?1 ∗,?2 ∗,…,?? ∗ )?. .若lim ?→∞ ? = ?? ∗ ,? = 1,2,…,?,則稱向量??收斂於?∗.記為:lim ?→∞? = ?∗.

向量序列 ? 收斂於?∗的充要條件是lim ?→∞? − ?∗ = ?,其中|| ∙ || 是任意範數。

設矩陣 ||?||是定義在 ℝ?×? 上的某個實值函式，滿足條件：

(1)正定性：|| ? || ≥ 0, || ? || = 0當且僅當? = 0時成立。

(2)正齊次性： || ?? || =| ? |∙|| ? ||,∀? ∈ ℝ,∀? ∈ ℝ?×?

(3)三角不等式： || ? + ? || ≤|| ? || + || ? || ,∀?,? ∈ ℝ?×?

(4)相容性： || ?? || ≤ || ? || || ? || .

則稱 ? 是ℝ?×?的乙個矩陣範數。

（1）frobenius 範數

（2）運算元範數

向量範數與矩陣範數也應具備相容性： ||??|| ≤|| ?|| || ? ||

設∀? ∈ ℝ?,∀? ∈ ℝ?×?,|| ∙ || ?是ℝ?上的向量範數，記

|| ? || ? = max ?≠0( ||??|| ? / ||?|| ? ),

稱|| ? ||?是ℝ?×?上矩陣的範數，稱為運算元範數。

設 ||? ||?是ℝ?上的向量範數, ||? ||?是ℝ?×?上矩陣的運算元範 數，則滿足相容條件：|| ?? || ? ≤ || ? ||? || ? || ?.

設? ∈ ℝ?×?的特徵值為??(? = 1,2,…,?),稱?（?） = max 1≤ ?≤? |??|，為矩陣?的譜半徑。

設? ∈ ℝ?×?，則： ? (?) ≤|| ? || , 其中 || ? || 是矩陣?的運算元範數

（1) ?與?的攝動對方程組解的影響

設有方程組?? = ?，其精確解為?∗，?非奇異，? ≠ ?，則顯然 解?∗ ≠ ? 。我們所要討論的是?和?的微小誤差??和??對方程組解 ?∗的影響。

如果??與??微小變化，將引起??很大變化，則稱方程組?? = ? 為病態方程組，稱?為病態矩陣；反之如果??與??微小變化，引起 的??變化很小，則稱方程組為良態方程組，稱?為良態矩陣。

（2）矩陣的條件數及其性質

定義 設?是非奇異矩陣，則???? ? = ||?−?|| || ? || 稱為矩陣?的 條件數，當條件數???? ? ≫ ?時，則方程組是病態的， 當其較小是稱方程組是良態的.

2.線性方程組的數值解法

高斯消去法 /* gaussian elimination */

• 基本思想： 用逐次消去未知數的方法把原方程化為上三角形方程組進行求解。

• 求解過程分為：

消元過程：用初等行變換將原方程組的係數化為上三角形 矩陣（上三角陣）；

回代過程：對上三角形方程組的最後乙個方程求解，將求得的解 逐步往上乙個方程代入求解。

主要包括高斯順序消去法和高斯選主元消去法。

線性方程組

給出乙個線性方程組的標準形式 a11x1 a12x 2 a1nx na21x 1 a22 x2 a2n xnan 1x1 an2x 2 annx n b1 b2 bn 1x 2y 34x 5y 6 1 2 這裡由克萊姆法則進行計算得出xy 3625 14 25 3 5 2 61 5 2 4 3 3 ...

線性方程組

若線性方程組相容，則此方程組有1個或無窮多個解 若線性方程組不相容，則該方程組無解。線性方程組所有解的集合被稱為線性方程組的解集 若線性方程組不相容，則解集為空集。若兩個含有相同變數的方程組具有相同的解集，則稱它們是等價的。有三種運算可以得到等價的方程組 交換任意兩個方程的順序 任一方程兩邊同乘乙個...

線性方程組

給出乙個線性方程組，有 n 個未知數和 m 個方程 a x 1 a x 2 a x n b 1 a x 1 a x 2 a x n b 2 a x 1 a x 2 a x n b m 對於解該線性方程組，首先構造增廣矩陣，按列分塊 a left begin a a a b a a a b a a a...