因子檢測:
檢測因子,時間複雜度o(n^(1/2))
def is_prime(n):
if n < 2:
return false
for i in xrange(2, int(n**0.5+1)):
if n%i == 0:
return false
return true
費馬小定理:
如果n是乙個素數,a是小於n的任意正整數,那麼a的n次方與a模n同餘
實現方法:
選擇乙個底數(例如2),對於大整數p,如果2^(p-1)與1不是模p同餘數,則p一定不是素數;否則,則p很可能是乙個素數
2**(n-1)%n 不是乙個容易計算的數字
模運算規則:
(a^b) % p = ((a % p)^b) % p
(a * b) % p = (a % p * b % p) % p
計算x^n(% p)
可以如果n是偶數,那麼x^n =(x*x)^[n/2];
如果n是奇數,那麼x^n = x*x^(n-1) = x *(x*x)^[n/2];
def xn_mod_p(x, n, p):
if n == 0:
return 1
res = xn_mod_p((x*x)%p, n>>1, p)
if n&1 != 0:
res = (res*x)%p
return res
也可以歸納為下面的演算法 兩個函式是一樣的
def xn_mod_p2(x, n, p):
res = 1
n_bin = bin(n)[2:]
for i in range(0, len(n_bin)):
res = res**2 % p
if n_bin[i] == 『1『:
res = res * x % p
return res
有了模冪運算快速處理就可以實現費馬檢測
費馬測試當給出否定結論時,是準確的,但是肯定結論有可能是錯誤的,對於大整數的效率很高,並且誤判率隨著整數的增大而降低
def fermat_test_prime(n):
if n == 1:
return false
if n == 2:
return true
res = xn_mod_p(2, n-1, n)
return res == 1
miller-rabin檢測
miller-rabin檢測是目前應用比較廣泛的一種
二次探測定理:如果p是乙個素數,且0
費馬小定理:a^(p-1) ≡ 1(mod p)
這就是miller-rabin素性測試的方法。不斷地提取指數n-1中的因子2,把n-1表示成d*2^r(其中d是乙個奇數)。那麼我們需要計算的東西就變成了a的d*2^r次方除以n的餘數。於是,a^(d * 2^(r-1))要麼等於1,要麼等於n-1。如果a^(d * 2^(r-1))等於1,定理繼續適用於a^(d * 2^(r-2)),這樣不斷開方開下去,直到對於某個i滿足a^(d * 2^i) mod n = n-1或者最後指數中的2用完了得到的a^d mod n=1或n-1。這樣,fermat小定理加強為如下形式:
盡可能提取因子2,把n-1表示成d*2^r,如果n是乙個素數,那麼或者a^d mod n=1,或者存在某個i使得a^(d*2^i) mod n=n-1 ( 0<=i
定理:若n是素數,a是小於n的正整數,則n對以a為基的miller測試,結果為真.
miller測試進行k次,將合數當成素數處理的錯誤概率最多不會超過4^(-k)
def miller_rabin_witness(a, p):
if p == 1:
return false
if p == 2:
return true
#p-1 = u*2^t 求解 u, t
n = p - 1
t = int(math.floor(math.log(n, 2)))
u = 1
while t > 0:
u = n / 2**t
if n % 2**t == 0 and u % 2 == 1:
break
t = t - 1
b1 = b2 = xn_mod_p2(a, u, p)
for i in range(1, t + 1):
b2 = b1**2 % p
if b2 == 1 and b1 != 1 and b1 != (p - 1):
return false
b1 = b2
if b1 != 1:
return false
return true
def prime_test_miller_rabin(p, k):
while k > 0:
a = randint(1, p - 1)
if not miller_rabin_witness(a, p):
return false
k = k - 1
return true
原文:
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