在n*n格的棋盤上放置彼此不受攻擊的n個皇后。由於皇后可以攻擊與之處於同一行或同一列或在同一斜線上的棋子。n皇后問題等價於在n*n的棋盤上放置n個皇后，任何兩個皇后不放在同一列或同一行或同一斜線上。
解法分析：最粗暴的做法是每一行遍歷列，然後每次和前面的所有元素判斷一下是不是互相攻擊。複雜度太高。dfs+剪枝的做法是，從上往下遍歷層，每一層遍歷列，由於每一撇上的元素col + row都是相等的，每一捺上的元素 col - row都是相等的，所以對於每乙個當前可行的元素，把它的col、col + row、col - row儲存到各自的集合裡面，新的元素如果這三個數都不在對應集合裡面，那麼是可行的。遍歷到第n層（最後一層是n-1層）直接把當前的狀態放到result裡面。
def n_queens(n):
if n < 1:
return
result =
cols, pie, na = set(), set(), set()
def dfs(n, row, cur_state):
if row >= n:
return
for col in range(n):
if col in cols or row + col in pie or row - col in na:
continue # 不合適，跳過
# 更新flag
cols.add(col)
pie.add(row + col)
na.add(row - col)
dfs(n, row+1, cur_state+[col])
# 恢復現場
cols.remove(col)
pie.remove(row + col)
na.remove(row - col)
def _generate_result(n):
board =
for res in result:
for i in res:
return [board[i:i+n] for i in range(0, len(board), n)]
dfs(n, 0, )
return _generate_result(n)
print(n_queens(4))
簡潔版。因為flag是dfs()函式的引數，因此不需要恢復現場。最後列印的時候採用二維的列表推導式，簡化**。
def n_queens(n):
if n < 1:
return
result =
def dfs(cols, xy_dif, xy_sum):
row = len(cols)
if row == n:
return none
for col in range(n):
if col not in cols and row - col not in xy_dif and row + col not in xy_sum:
dfs(cols + [col], xy_dif + [row - col], xy_sum + [row + col])
dfs(, , )
return [["."*i + "q" + "."*(n-i-1) for i in res] for res in result]
print(n_queens(4))
回溯演算法的解釋如下：
回溯法（探索與回溯法）是一種選優搜尋法，又稱為試探法，按選優條件向前搜尋，以達到目標。但當探索到某一步時，發現原先選擇並不優或達不到目標，就退回一步重新選擇，這種走不通就退回再走的技術為回溯法，而滿足回溯條件的某個狀態的點稱為「回溯點」。回溯法可以看作一種dfs。對於某乙個搜尋樹來說（搜尋樹是起記錄路徑和狀態判斷的作用），回溯和dfs，其主要的區別是，回溯法在求解過程中不保留完整的樹結構，而深度優先搜尋則記下完整的搜尋樹。
回溯法和dfs很相似，這裡不再展開了。
這是n皇后問題的最高效解法。
用cols、pie、na是三個數字，其二進位制表示之前的列、撇和捺上的皇后，0表示沒有，1表示有。
bits =(~(cols | pie | na))&((1<< n)-1)是用來得到當前的空位的，前面三個數相或之後得到的0位置是可以放皇后的，取反之後的1位置是可以放皇后的。由於乙個數有很多位，我們只需要後n位，所以與上後面的((1<< n)-1)。
bits &-bits可以得到最低位的1。
呼叫下一層dfs的時候，row直接加1，col或當前的列即可，pie或上當前列之後要左移一位，na或上當前列後要右移一位。
bits &(bits -1)作用是去掉最低位的1。
def n_queens(n):
if n < 1:
return
count = [0]
def dfs(n, row, cols, pie, na):
if row >= n:
count[0] = count[0] + 1
return
bits = (~(cols | pie | na)) & ((1 << n) - 1)
while bits:
p = bits & -bits
dfs(n, row+1, cols | p, (pie | p) << 1, (na | p) >> 1)
bits = bits & (bits - 1)
dfs(n, 0, 0, 0 ,0)
return count[0]
print(n_queens(4))
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