雙曲線、橢圓、拋物線等統稱為二次曲線（或圓錐曲線），它其實是三維空間中圓錐在截面上的投影，如圖
二次曲線的在歐氏空間的方程為
a x2
+bxy
+cy2
+dx+
ey+f
=0ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0
ax2+bx
y+cy
2+dx
+ey+
f=0即乙個二次多項式。
使用齊次座標表示為
a x1
2+bx
1x2+
cx22
+dx1
x3+e
x2x3
+fx3
2=0ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2+dx_1x_3+ex_2x_3+fx_3^2=0
ax12+
bx1
x2+
cx22
+dx
1x3
+ex
2x3
+fx
32=
0使用矩陣形式表示為xtc
x=0x^tcx=0
xtcx=0
其中c =[
ab/2
d/2b
/2ce
/2d/
2e/2
f]c=\begina&b/2&d/2\\b/2&c&e/2\\d/2&e/2&f\end
c=⎣⎡a
b/2d
/2b
/2ce
/2d
/2e/
2f⎦
⎤顯然，乙個二次曲線有5個自由度，5點確定一條二次曲線。
二次曲線在其上一點x處的切線為l=c
xl=cx
l=cx
平面上任意一點和二次曲線可以定義一條直線l=c
xl=cx
l=cx
，這條直線稱為x之於c的極線。x稱為l之於c的極點。如圖,
過x作c的切線剛好落在極線上。
極線上滿足ytc
x=0y^tcx=0
ytcx=0
的點y稱為x之於c的共軛點。相應的，x也在y之於c的極線上。
可以看到二次曲線的矩陣表示實際上是乙個二次型，當c不是滿秩的時候，二次曲線發生退化。此時二次曲線的形狀可能為兩條（秩為2）或一條直線（秩為1）
乙個退化為兩條直線的二次曲線方程為c=l
mt+m
ltc = lm^t+ml^t
c=lmt+
mlt。證明如下：
對l上的一點x，它滿足xtc
x=(x
tl)(
mtx)
+(xt
m)(l
tx)=
0x^tcx=(x^tl)(m^tx)+(x^tm)(l^tx)=0
xtcx=(
xtl)
(mtx
)+(x
tm)(
ltx)
=0。故x在曲線c上。
##對偶二次曲線
之前講到射影幾何中點與直線具有對偶性。由此我們可以定義出二次曲線（或者叫點二次曲線）的對偶曲線，稱為線二次曲線。正如點二次曲線是無數點的集合，線二次曲線是無數線的集合
我們還是可以用乙個3×3
3\times 3
3×3的對稱矩陣來c
∗c^*
c∗來表示它。c
∗c^*
c∗為c的伴隨矩陣。與線二次曲線相切的直線滿足ltc
∗l=0
l^tc^*l=0
ltc∗l=
0。在滿秩的情況下有c∗=
kc−1
c^*=kc^
c∗=kc−
1 線二次曲線可以很簡單的由點二次曲線推導出來。由上面所說，點二次曲線c在x處點切線為l=cx。相反的，我們可以得到c與直線l相切於x=c
−1lx=c^l
x=c−1l
。於是由xtc
x=0x^tcx=0
xtcx=0
我們得到(c−
1l)t
c(c−
1l)=
ltc−
1l=0
(c^l)^tc(c^l)=l^tc^l=0
(c−1l)
tc(c
−1l)
=ltc
−1l=
0。即線二次曲線的方程。
如圖為乙個對偶二次曲線的直觀表示。它包住了點圓錐曲線所在的區域。
在退化情況下，乙個對偶二次曲線可以由兩點確定，即
c ∗=
xyt+
yxtc^*=xy^t+yx^t
c∗=xyt
+yxt
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