我們知道動態規劃主要可以用來解決兩類問題：
優化問題
組合計數問題
花花今天就來和大家聊一聊在組合計數問題中，如何使用快速冪運算來進行加速，把時間複雜度從o(n)降低到o(logn)。用到的知識點有二進位制和矩陣運算。
狀態轉移方程：
dp[i][0] = dp[i - 1][0] * 3 + dp[i - 1][1] * 2
dp[i][1] = dp[i - 1][0] * 2 + dp[i - 1][1] * 2
邊界條件：
dp[1][0] = dp[1][1] = 6
求：dp[n][0] + dp[n][1]
對於這樣的轉移方程，我們一般使用遞推去求解，乙個for迴圈搞定。時間複雜度o(n)，空間複雜度o(n)，由於dp[i]只和dp[i-1]有關，可以進一步使用滾動陣列/臨時變數來降維，把空間複雜度降低到o(1)。
很多同學以為線性的遞推就是最快的了，其實不然。遞推雖然實現簡單，也能通過所有測試樣例，但並不是最優的。我們還可以做的更好，只需要把狀態轉移方程改寫成矩陣形式即可：
我們可以直接寫出dp[n]和dp[1]的關係：
這樣問題就變成如何快速求解常數矩陣的n次冪。
我們今天就來介紹一種快速整數冪運算的方法：平方法。
一般形式為 x = a*b^n，底數b可以是實數也可以是矩陣，n必須是正整數。我們從b開始，每次把b平方，就能得到b^(2^k)。在這個過程中，把n看成乙個二進位制數，如果第k位為1，表示最終結果需要乘以b^(2^k)，否則就跳過。
我們以x = 2 * 3^43為例，43的二進位制為：0b101011，第2位和第4位位0，也就是要跳過3^(2^2) = 3^4 和 3^(2^4) = 3^16，我們得到：
快速冪運算的偽**如下：
note1：如果a，b為矩陣，則把乘法的部分換成矩陣相乘即可。
note2：由於結果會非常大，通常每一步計算後都需要進行取餘操作。
很明顯時間複雜度是o(logn)，因為n的二進位制長度為o(logn)，迴圈會執行o(logn)次，迴圈內所有的操作都是o(1)，所以總的時間複雜度是o(logn)。
回到我們之前說的1411題，dp[n] = dp[0] * m^(n-1)
c++**如下，其中mul是最簡單的矩陣相乘的實現。
我們再來看另外乙個例子：leetcode 935. knight dialer，這次的係數矩陣很大，10x10，但之後的**是一樣的。
這兩題的dp[i]只和dp[i-1]有關，改寫成矩陣形式比較簡單。我們再來看兩個稍微複雜一些的例子。
leetcode 70. climbing stairs 這道題就是讓你求斐波那契數列的第n項。
轉移方程：dp[i] = dp[i-1] + dp[i-2]
邊界條件：dp[0] = dp[1] = 1
同樣我們可以把它改寫成矩陣形式，需要構造乙個2x2的矩陣
其中dp[-1] = 0
後面的計算部分是一樣的，最後我們的答案就儲存在dp[0][0]。
note：這題不需要取餘。
最後乙個例子是 790. domino and tromino tiling
狀態轉移方程比較複雜：
f[i] = f[i-1] + f[i-2] + 2 * g[i-1]
g[i] = f[i-2] + g[i-1]
邊界條件：
f[0] = f[1] = 1, g[0] = g[1] = 0
求：f[n]
我們依舊可以把它改寫成矩陣形式，變數矩陣是1x3，係數矩陣是3x3：
可以得到：
寫了這麼多，相信大家對快速冪運算以及其在動態規劃中的應用有了一定的了解，不要求掌握，感興趣的同學可以去自己推導和實現一下。
快速冪運算
知識點 快速冪運算 快速冪運算 原來 當我們計算a k時候，一定是 a a a a a k個 現在 把k拆成二進位制，為了表達清楚，我們這裡讓k 11 11 dec 1011 b 1 2 3 0 2 2 1 2 1 1 2 0 我們會發現其中有0的地方是個廢操作 那麼我們將去除這個廢操作的過程叫做快...
快速冪運算
如果我們要求x n次方 當n很大的時候 會gg 這個時候就會用到快速冪演算法了，顧名思義，快速冪，快速求冪。因為任何乙個數都可以用2進製表示。比如9 2 3 2 0 7 2 2 2 1 2 0 所以我們可以把n看成 n 2 k1 2 k2 2 k3.這樣來表示。當然我們同樣可以把x用這樣表示。即 x...
快速冪運算
首先，快速冪的目的就是做到快速求冪，假設我們要求a b,按照樸素演算法就是把a連乘b次，這樣一來時間複雜度是o b 也即是o n 級別，快速冪能做到o logn 快了好多好多。它的原理如下 假設我們要求a b，那麼其實b是可以拆成二進位制的，該二進位制數第i位的權為2 i 1 例如當b 11時 a1...