在講迭代法之前，先花了一周多回顧一下線性代數的知識，標題取成矩陣理論，是強調核心的研究目標是矩陣。
先總結一下主要思想，具體細節在手寫的課堂筆記裡。
我們要研究的是矩陣，但不能只從矩陣出發。矩陣是某個線性運算元在某組基底下的表示。同樣的，通常的向量也只是線性空間中某個元素在某個基底下的表示而已。
那麼不同的基底，就會有不同的表示，但同乙個元素自有其本性，和表示無關。
好比同乙個人穿了不同的衣服，但其個人品質是不會變的，只是有些衣服穿起來好看一點。
不同的基底之間可以互相變換，記變換矩陣為 ，同乙個線性運算元在這兩組基底下對應的矩陣表示分別記為 ,。不難驗證，它們滿足關係
， 即兩個矩陣相似。相似關係定義了矩陣的乙個等價類，這個等價類就是所有這些矩陣要表示的同乙個線性運算元。
在無窮多的表示當中，選乙個經典的表示作為代表，這個就是矩陣的 jordan form。在衣服的比喻裡，jordan標準型相當於矩陣的標準**。
接下來我們介紹線性代數裡最重要的乙個概念：特徵值和特徵向量。是有限維線性空間 之間的線性運算元。如果存在乙個數 (可以是複數) 和非零向量 滿足
， 那麼 就稱之為特徵值， 是相應的特徵向量。所有特徵值的集合稱為該運算元的譜，記為 。我們都考慮的是有限維線性空間，所以都是點譜，不用考慮其它複雜的情況。
稍微注意一下，特徵值可以是 ，但特徵向量一定要是非零的。
在定義中只用到運算元的線性結構。向量 是抽象線性空間 中的元素，不是狹義的 中的向量。
既然相似矩陣表示的是同乙個線性運算元，而同乙個線性運算元對應的特徵值是相同的，那麼下面的結論就是不證自明的。
相似矩陣有相同的特徵值。
作為習題，大家可以試著證明，對兩個矩陣 ，如果 是 的非零特徵值，那麼它也是 的特徵值。
我們知道矩陣乘法和數的乘法最大的不同就是 (量子力學的先驅們花了好多時間來理解和消化這個事實)。但是作為運算元
交換矩陣乘積基本不改變譜的結構(除了零特徵值)。
這個結果可以推廣到不是方陣的情況，當然要求乘積還是方陣，否則無法定義特徵值。下面這個事實經常用來構造快速演算法
假設 的維數是. 那麼 是 的大矩陣，而 是 的小矩陣，操作起來就要高效多了。
當 是實數時，對映作用在特徵向量上就是乙個拉伸。如果能夠用特徵向量來組成一組基底，那麼運算元在這組基底下的矩陣表示就是對角的。對角矩陣操作起來就和數差不多了。
在衣服的比喻裡，特徵向量組成的基底是最好看的衣服。換上這件衣服後，運算元變成對角的，特別好看。
好看的東西都不便宜。
要找到所有的特徵值和特徵向量不是一件容易的事情。首先要問的是，能否找到足夠的特徵向量來張成一組基呢？
特徵值是特徵多項式的根。當根是重根的時候，不一定能夠找到足夠多的線性無關的特徵向量。重根重複的次數稱之為代數重數。給定乙個重根，能夠找到的線性無關的特徵向量個數稱之為幾何重數，代數重數 幾何重數。
當等式成立的時候，我們就能找到足夠的特徵向量來張成一組基底，在此基底下，運算元的矩陣表示是對角的。該運算元也稱之為可對角化的。
如果對於矩陣的所有特徵值，代數重數都等於幾何重數，那麼矩陣就是可對角化的。
當幾何重數小於代數重數的時候，怎麼辦？還是可以取到一組基底，但運算元的表示不再是對角的，off diagonal會有額外的1進來，對應的表示就是jordan form。具體推導就是解特徵向量的方程。
嚴格對角佔優矩陣特徵值 相似矩陣
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