20190328更新說明：文末有直接計算的工具
1、按照現在的推廣和留存，我們在未來最多能到達多少日活？
2、為了三個月後達到預定的日活，我們需要每天都少推廣？
3、乙個產品在某個國家，得達到多少留存之後，推廣和收益才能打正(roi為正)？
其實這些問題本質上，都是在回答乙個問題，即如何預估乙個產品的日活？問題應該有很多解法，提供乙個簡單思路，總結如下。
日活會受到很多因素的影響，產品迭代，運營活動，推廣的變化等等都會影響到日活。當然這些因素中，有的影響較小，有的暫時無法預估，因此在**的過程中，我們可以將一些影響不大的因素，剔除出去，從而簡化得到乙個可計算的狀態。(這個簡化到可計算的過程中，其實就叫數學建模。)
因此為了計算，我們首先構建日活的乙個簡單數學模型。
建立日活的數學模型
影響日活的因素中，最本質的其實是兩個，乙個是每日新增使用者數，乙個是新增使用者的留存率。某一天的日活，我們可以看作是，當天的新增，加上前一天的新增的次日留存使用者，再加上大前天的新增的二日留存使用者，......，以此類推，我們可以認為日活是「當天的新增使用者和此前每一天新增使用者在當天的留存使用者之和」，基於此，我們可以用乙個很簡單的公式表達日活。
其中，為第
天的日活，
為第天的新增，
為新增使用者在第n-1天後的留存率。如果我們假設，每日使用者的新增是乙個固定的數值
，則公式可簡寫為
上述公式可以看成是日活的乙個簡單的數學模型。從這個模型中，我們可以看出，新增
是乙個較為確定的數值，另一部分
，留存之和的確定稍微有些麻煩。可以用下述的方法，預估留存。
如何預估留存
留存率是乙個產品最為核心的指標了，下圖是乙個產品的留存率衰減曲線
1-30日留存率衰減曲線
由圖中，我們可以看出，留存率的衰減曲線，非常類似冪函式的曲線，其實，在業內絕大部分產品的留存衰減曲線，基本都是符合冪函式曲線。
基於此，我們可以通過冪函式來近似擬合留存率的衰減曲線，也就可以順利的預估出日活模型中需要的留存之和。一般在預估乙個產品的留存之前，我們會有一些先驗的資料基礎，如果你的產品已經上線來一段時間，可以使用歷史資料作為基礎，如果產品還未上線，沒有歷史的資料，因為不同型別產品的留存和衰減速度都不太一樣，因此可以用業內同型別的產品的大概留存資料作為擬合**的參考。因此留存曲線擬合基本會遇到兩種情況：
1、已經知道了若干天的留存，預估後續的留存？
2、不知道具體每天的留存，只知道次留，周留，月留存等資料，預估每一天的留存
這兩個情況本質上屬於同乙個問題，這裡以第二種情況為例，簡單說下如何操作。曲線擬合的方法有很多，這裡我介紹乙個最為簡單的方式，就是利用excel來做乙個簡單的擬合計算。具體步驟如下。
step1 假設我們知道了乙個產品次日留存，7日留存，30留存如下
某產品若干日留存
step2 在excel中按照對應留存天數，寫出留存率，並畫出散點圖
留存散點圖
step3 在excel圖表對上述散點新增趨勢線，並在趨勢線選項中，選擇冪函式，並選擇顯示冪函式公式
基於散點擬合曲線
得到的冪函式為
，其中為對應的天數，
為對應天數的留存率。
step4 基於得到的冪函式公式，可以求的所有對應天數的留存率。
計算得到預估的日活
基於得到的冪函式，算出對應的留存率之後，就可以簡單求和得到，帶入日活公式中
這樣就可以通過預估的每日新增，得到在未來第
天日活所處的水平。
總結&後記
以上通過簡化日活模型，僅考慮新增和留存對於日活的影響(其它影響，也都是通過新增和留存間接對日活產生影響的)，可以粗略的估算出未來一段時間的產品日活規模。進而通過日活的規模，再去估算一些潛在收益，以及運營成本等等資料。上述計算一定存在誤差，並且不能滿足所有的場景，但整體的思路可以作為參考，應該能搞解決大部分相關問題了。
感覺已經很久沒有寫東西了，這半年一直在做內容相關的事情，試了很多方式，找到了一些行之有效的辦法，希望後面有空能總結出來。
20190328日更新
20190601日更新
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