二次函式作為中考數學壓軸題的常見考點，在其基礎上衍生出無數變式，它可以和一次函式、反比例函式整合，也可以與幾何圖形結合，而其中的動點問題，更是各地中考壓軸題的熟客，拋物線不僅存在於直觀圖形，更與運動最值等息息相關，這其中對於二次函式及其圖象的性質運用，須達到相當純熟的程度，才能做到游刃有餘，這一層又一層的二次函式關係，猶如俄羅斯套娃，你玩得轉嗎？
題目
如圖，a(2,1)，b(2,0)，c為y軸上一動點，過a，c兩點的拋物線為y=ax²+bx+n(a≠0，a≠-1)，直線oa與直線bc相交於點p.
(1)若n=1，且拋物線恰好也過p點，如圖1，直接寫出拋物線頂點座標為_____________；
(2)當拋物線同時經過a，c，p三點時，此時p必為該拋物線的頂點，請以n=2為例驗證上述結論的正確性；
(3)若拋物線與直線bc有唯一交點c
①求a的值，並求當c沿y軸向上運動時，其頂點同時向下運動所對應n的取值範圍；
②設過b另有一直線(與bc，ab不重合)，也與拋物線僅有乙個交點，設為d，經**發現：無論c在y軸上如何運動，直線cd一定經過乙個確定不動點q，請直接寫出該不動點q的座標.
解析：0
1 (1)當n=1時，點c座標為(0,1)，我們可觀察點a與點c縱座標相同，在拋物線上，縱座標相同的兩個點一定是關於對稱軸對稱的，於是對稱軸為x=1，接下來有多種方法可以「秒殺」：
a，b，c座標均已知，可得直線oa解析式為y=1/2x，直線bc解析式為y=-1/2x+1，求得p(1,1/2)，然後將a，c，p三點代入拋物線解析式分別求出a,b,n，於是拋物線解析式為y=1/2x²-x+1，化為頂點式為y=1/2(x-1)²+1/2，於是頂點座標為(1,1/2)；
四邊形obac是矩形，根據對角線相等且互相平分，點p為bc和oa中點，即它的橫座標為1，在對稱軸上，因此點p一定是頂點，利用中點公式秒了；
0 2(2)當n=2時，點c座標為(0,2)，此時oa解析式不變，依然是y=1/2x，而bc解析式變成y=-x+2，求得p(4/3,2/3)，同樣可利用a，c，p三點座標求出拋物線解析式為y=3/4x²-2x+2，化為頂點式為y=3/4(x-4/3)²+2/3，因此頂點恰好是p；0
3 (3)作為本題的難點，首先需要理解拋物線與直線有唯一公共點的意義，通常我們會聯立拋物線與直線得到乙個一元二次方程，這個方程的判別式為零，記住這個方法，後面會多次用到它。
①又是乙個令人費解的描述，當c沿y軸向上運動時，其頂點同時向下運動，點c座標為(0,n)，只有乙個引數n來控制它上下運動，拋物線頂點縱座標必定是乙個含n的二次多項式，究竟是什麼呢？暫時不清楚，但目標是明確的，即將拋物線頂點座標表示出來看看。
面對拋物線解析式y=ax²+bx+n中的眾多引數，能消乙個算乙個，利用題目條件中拋物線經過點a，將其座標代入，得4a+2b+n=1，於是得到b=1/2-2a-n/2，於是拋物線解析式變成y=ax²+(1/2-2a-n/2)x+n，直線bc的解析式可設為y=kx+n，再將點b座標代入，得k=-n/2，於是直線bc解析式為y=-nx/2+n，現在我們聯立它們得到乙個關於x的一元二次方程，ax²+(1/2-2a-n/2)x+n=-nx/2+n，整理後得到ax²+(1/2-2a)x=0，根據△=0，我們可求出a=1/4，於是b=-n/2，至此拋物線解析式可化為y=1/4x²-nx/2+n，這是乙個只含引數n的一元二次方程，它的頂點座標可表示為(n,n-n²/4)，請注意它的縱座標，是不是與我們先前的**吻合？
將其縱座標利用配方法化簡得-1/4(n-2)²+1，我們可以利用二次函式的圖象性質，確定當n≥2時，頂點縱座標隨n的增加而減少，即向下運動，推導如下：
②由題意可知直線bd與拋物線僅有乙個公共點d，不妨設bd的解析式為y=mx+d，代入b(2,0)，得到d=-2m，於是bc解析式可化為y=mx-2m，將其和拋物線聯立得方程1/4x²-n/2x+n=mx-2m，同樣求其判別式△=1/4(n+2m)²-(n+2m)=0，我們提個公因式再來看，(n+2m)[1/4(n+2m)-1]=0，意味著m=-n/2或m=2-n/2，請注意，題目中說了它與bc，ab不重合，而在前面我們求得bc的解析式中k=-n/2，於是m≠-n/2，所以m=2-n/2，再求出d=n-4，現在我們知道bd的解析式為y=(2-n/2)x+n-4，將其與拋物線聯立，得方程1/4x²-n/2x+n=(2-n/2)x+n-4，整理得1/4x²-2x+4=0，可求出x=4，於是點d座標為(4,4-n)；
此時我們設cd的解析式為y=px+n，將點d座標代入，得到p=1-n/2，於是cd解析式化為y=(1-n/2)x+n，它一定經過乙個確定的不動點q，怎麼尋找這個點呢？
抓住「不動」二字，即無論n取何值，總有一對x，y的值滿足，不妨將所有含n的式子中因數n提出來，得到y=x+n(1-x/2)，這就可以看出來了，當x=2時，y=2，與n無關，所以點q座標為(2,2)，推導如下：
解題反思
在引數n確定的時候，本題難度一般，涉及到拋物線與直線有唯一交點的問題也曾無比熟悉，然而在理解頂點向下運動的時候，需要建立起它的縱座標與二次函式圖象的關聯，相當於在原題的二次函式中又巢狀了一次，而在研究直線過定點類的問題時，一定要牢記直線過定點的基本方法，即與解析式中的引數無關，什麼叫無關呢？即化為關於這個引數的方程，讓它的係數為零，這樣就能保證無論引數如何變化，恆成立，從而求解出需要的結果。
從這道題目中，至少我們知道引數控制點的運動，如果是引數的一次多項式，則點沿直線運動，如果是二次多項式，基本上沿拋物線運動，就一定存在「忽上忽下」的運動路線，這極容易迷糊，而要理清它如何動，歸根到底還是建立在對二次函式圖象特徵的深度理解上。
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